求解概率问题的基本方法

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  一、利用枚举法求概率
  
  例1田忌赛马是一个为人熟知的故事.传说战国时期,齐王与田忌各有上、中、下三匹马,同等级的马中,齐王的马比田忌的马强.有一天,齐王要与田忌赛马,双方约定:每局各出一匹马,每匹马赛一次,赢得两局者为胜.看样子田忌似乎没有胜的希望,但是田忌的谋士了解到主人的上、中等马分别比齐王的中、下等马要强……
  (1)如果齐王将马按上中下的顺序出序阵比赛,那么田忌的马如何出阵,田忌才能取胜?
  (2)如果齐王将马按上中下出阵,而田忌的马随机出阵比赛,田忌获胜的概率是多少?(要求写出双方对阵的所有情况)
  (2006年安徽省中考数学试题)
  分析:(1)由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强,当齐王的马按上、中、下顺序出阵时,田忌的马按下、上、中顺序出阵时,田忌才能获胜.
  (2)当田忌的马随机出阵时,双方马的对阵情况如下表:
  


  双方马的对阵中,只有一种情况田忌获胜,所以田忌获胜的概率P=1/6.
  注:运用枚举法的关键是把各种可能的情况既不漏掉又不重复地列出来.
  
  二、运用树状图求概率
  
  例2如图,电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡,闭合开关D或同时闭合开关A、B、C,都可使小灯泡发光.
  


  (1)任意闭合其中一个开关,则小灯泡发光的概率等于___________.
  (2)任意闭合其中两个开关,求出小灯泡发光的概率.
  (2006年苏州市中考数学试题)
  分析:(1)1/4;
  


  任意闭合其中两个开关的情况共有12种,其中能使小灯泡发光的情况只有6种,∴小灯泡发光的概率是6/12=1/2.
  
  三、列表求概率
  
  例3在电视台举行的“超级女声”比赛中,甲、乙、丙三位评委依据选手的综合表现,分别给出“待定”或“通过”的结论.
  (1)写出三位评委给出A选手的所有可能的结论;
  (2)对于选手A,只有甲、乙两位评委给出相同结论的概率是多少?
  (2006年宿迁市中考数学试题)
  分析:(1)我们用列表法来说明评委给出A选手的所有可能结论的情况.
  




  (2)从上表知评委给出A选手所有可能的结果有8种,对于A选手,只有甲、乙两位评委给出相同结论的有2种,即“通过——通过——待定”和“待定——待定——通过”,所以对于A选手只有甲、乙两位评委给出相同结论的概率是2/8=1/4.
  例4两人要去风景区游玩,某天某一时段开往风景区的汽车有三辆(票价相同),但是他们不知道这些车的舒适程度,也不知道这些汽车开过来的顺序,两人采用了不同的乘车方案.
  (1)甲无论如何总是上开来的第一辆车,而乙则是先观察后上车,当第一辆车开过来时,他不上车,而是仔细观察车的舒适状况,如果第二辆车的状况比第一辆好,他就上第二辆车;如果第二辆车不比第一辆车好,他就上第三辆车,如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等,请尝试解决下面的问题:
  ①三辆车按出现的先后顺序共有几种不同的可能?
  ②你认为甲、乙二人采用的方案,哪一种方案使自己乘坐上等车的可能性大?为什么?
  (2005年安徽省课改区中考数学压轴题)
  分析:选择方案是实际生活中常见的问题,经常通过计算概率来解答.
  ①三辆车开来的顺序有6种可能:(上、中、下)、(上、下、中)、(中、上、下)、(中、下、上)、(下、上、中)、(下、中、上).
  ②由于三辆车按什么顺序出现是随机事件,因此可确定6种顺序出现的可能性相同.下面我们来研究在各种可能性的顺序之下,甲、乙二人分别上哪一辆汽车:
  


  于是不难得出,甲乘上、中、下三辆车的概率都是1/3;而乙乘上等车的概率是1/2,乘中等车的概率是1/3,乘下等车的概率是1/6.
  故乙乘坐上等车的可能性大.
  
  四、运用逆向思维求概率
  
  例5某校有A、B两个餐厅,甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中一个餐厅用餐.
  (1)求甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率;
  (2)求甲、乙、丙三名学生中至少有一人在B餐厅用餐的概率.
  (2006年南京市中考数学试题)
  分析:(1)甲、乙、丙3人每人都有去A、B两餐厅中的任意一个的可能,故共有2×2×2=8种情况,所以他们去同一个餐厅用餐的概率是2/8=1/4.
  (2)题设中求甲、乙、丙三名同学中至少有一人在B餐厅用餐的概率,我们可以反过来考虑,它的反面是甲、乙、丙三人中无一人去B餐厅用餐,即全部在A餐厅用餐,它的概率是1/8,1-1/8=7/8,也就是说,甲、乙、丙三人中至少有一人在B餐厅用餐的概率是7/8.
  点评:解概率问题所用的思维方法比较独特,同学们也不易掌握,在中考复习中,加强对概率应用问题的探究,对拓宽同学们的知识面,扩大视野,是有一定帮助的.
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