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数学是数和形的学问. 在名画《蒙娜丽莎》、《最后的晚餐》中都将一些重要画面放在了矩形的对角线上体现几何美. 其实画家勾勒的图画中无不蕴涵着深奥的数学知识，美丽的图形中有数的衬托. 医学、军事等扫描仪器的应用，其实都是在用动态的几何来说明恒定的代数问题. 电影拍摄时要用米尺度量摄影机离演员脸部的距离，找好焦距，正是运用了黄金分割的原理. 在股市震荡的图形中，谁掌握了机遇，谁就拥有了财富，从代数蕴涵的美中，剖析出了真正的数字实惠.
数形结合是代数和几何的完美结合，数形结合作为一种重要的数学思想贯穿于整个初中阶段，既是中考的重点，又是中考的难点. 所以我们应在平时的学习中倍加重视数形结合思想.
一、用代数方法探索规律解决几何问题
例1棱长是1cm的小立方体组成如图1所示的几何体，那么这个几何体的表面积是多少？
分析：此题只要从六个不同方向去看，我们就会发现每个方向都有6个小正方形，而每个小正方形的面积为1平方厘米，所以这个几何体的表面积是36平方厘米，而如果把它看作一个完整的几何体，再千方百计去求表面积，是很难的事情. 在几何记数问题中，如果单纯的理解为几何问题，很难解决，数形结合思想非常重要.
例2观察下表中三角形个数变化规律，填表并回答下面问题：如果图中三角形的个数是102个，则图中应有多少条横截线？
分析：本题表面看来是一道几何题，但其实它的规律必须通过代数的方法总结才能得到，我们不可能无休止地去画，无休止地去数，所以探究数量关系，必不可少.
二、通过几何变换解决计算问题
例3如图3是一块矩形ABCD的场地，长AB=102m，宽AD=51m，从A、B两处入口的中路宽都为1m，两小路汇合处路宽为2m，其余部分种植草坪，则草坪面积为多少平方米？
分析：我们只要将几何图形进行重新组装，黑色部分刚好组成一个矩形，矩形的面积就是草坪面积，很轻松地借助几何变换解决了问题.
例4将五个边长都为2cm的正方形按如图4所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和为 （）
A． 2cm2B． 4cm2C． 6cm2D． 8cm2
分析：因为每个阴影部分的面积通过全等均可证明为正方形面积的 ，所以图中四块阴影面积的和为一个正方形的面积，即4cm2. 所以选B.
三、在变幻莫测的动态图形中抓住数值的永恒不变性
例5图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b）：在图5中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分）；在图6中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（即阴影部分）.
（1）在图7中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影；
（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：
（3）联想与探索：如图8，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的.
分析：在不断的变化过程中，虽然图形改变了形状，但我们发现阴影部分的面积永远可以看作底为1，高为b的平行四边形的面积.
解：（1）画图，如图9（要求对应点在水平位置上，宽度保持一致）；
（2）S1=ab-b，S2=ab-b，S3=ab-b；
（3）猜想：依据前面的有关计算，可以猜想草地的面积仍然是ab－b.
方案：1. 将“小路”沿着左右两个边界“剪去”；
2. 将左侧的草地向右平移一个单位；
3. 得到一个新的矩形（如图10）.
理由：在新得到的矩形中，其纵向宽仍然是b，其水平方向的长变成了a－1，
所以草地的面积就是b（a－1）=ab－b.
所以抓住数值不变性是解决问题的关键.
例6把两个全等的等腰直角三角形的三角板ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图11），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合. 现将三角板EFG绕O点顺时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°)，四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图12）. 在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论.
解：（1）在上述旋转过程中，BH＝CK，四边形CHGK的面积不变.
证明：连结CG.
∵△ABC为等腰直角三角形，O（G）为其斜边中点，
∴ CG=BG,CG⊥AB.
∴∠ACG=∠B=45°.
∵∠BGH与∠CGK均为旋转角，
∴∠BGH=∠CGK.
∴△BGH≌△CGK.
∴ BH=CK,S△BGH=S△CGK.
∴ S四边形CHGK=S△CHG+S△CGK=S△CHG+S△BGH= S△ABC= × ×4×4=4.
∴四边形CHGK的面积为4，是一个定值，在旋转过程中没有变化.
在很多定值问题中，我们一定要动中取静，从纷繁的变化条件中，剖析出问题的实质.
四、在数量变化中，寻求解决问题方法的一致性
数少形时难直观，形少数时难入微. 但我们也应注意图形变换中可能导致的数量变化，还须灵活掌握.
例7在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D， BE⊥MN于点E.
（1）当直线MN绕点C旋转到如图13所示的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE.
（2）当直线MN绕点C旋转到如图14的位置时，求证：DE=AD-BE.
（3）直线MN绕点C旋转到如图15所示的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.
解：（1）①∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°.
∴∠BCE+∠ACD=90°.
∴∠CAD=∠BCE.
∵ AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°，
∴△ADC≌△CEB.
②∵△ADC≌△CEB，
∴ CE=AD，CD=BE.
∴ DE=CE+CD=AD+BE.
（2）∵∠ACB=∠CEB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=∠BCE+∠CBE=90°.
∴∠ACD=∠CBE.
又∵ AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°，
∴△ADC≌△CEB.
∴ CE=AD，CD=BE.
∴ DE=CE-CD=AD-BE.
（3）MN旋转到如图15所示的位置时，AD、DE、BE所满足的等量关系是DE=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）.
∵∠ACB=∠CEB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=∠BCE+∠CBE=90°.
∴∠ACD=∠CBE.
又∵ AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°，
∴△ADC≌△CEB.
∴ CE=AD，CD=BE.
∴ DE=CD-CE=BE-AD.
我们发现，虽然AD、DE、BE所满足的等量关系发生了变化，但探索规律的方法却不变，都是通过三角形全等得出结论.
五、点动成线，通过数据定图形
例8（跳水问题）某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，如图16所示身体（看成一点）在空中运动路线是坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距离水面10 米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误. （1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3 米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由.
分析：首先应将运动员抽象为一个质点，设出相关解析式y=ax2+bx+c，观察图形将顶点纵坐标 和入水点位置（2，-10）得出c=0，4a+2b+c=-10， = .
解得：a= ，b= ，c=0或a= ，b=-2，c=0，
但 >0，∴y=- x2+ x.而当运动员在空中距池边的水平距离为3 米时，即x=3 -2= 时，y=- . 此时运动员距水面10- = <5，所以会失误.
此题表面看来是跳水问题，实际上就是求二次函数解析式问题，和导弹能否击中目标问题属同一问题，用数据解决图形问题，其乐无穷.
从数、式、方程、不等式到函数解直角三角形、圆，无不闪烁着数形结合思想的光辉，不失时机地把数与形结合起来，即把数的准确性与形的直观性结合起来，可以收到意想不到的效果. 埃及的金字塔之所以美丽是因为它神秘的建筑原理，那么想深入了解它最起码要知道它的高，而几何的相似让这么一个伟大的工程如测一个旗杆的高度一样简单，而让学生去完成一个测量问题，他们会想出近30种办法.数与形难舍难分，数无形时很迷茫，代数只不过是书写的几何，而几何只不过是图形的代数.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
数形结合是代数和几何的完美结合，数形结合作为一种重要的数学思想贯穿于整个初中阶段，既是中考的重点，又是中考的难点. 所以我们应在平时的学习中倍加重视数形结合思想.
一、用代数方法探索规律解决几何问题
例1棱长是1cm的小立方体组成如图1所示的几何体，那么这个几何体的表面积是多少？
分析：此题只要从六个不同方向去看，我们就会发现每个方向都有6个小正方形，而每个小正方形的面积为1平方厘米，所以这个几何体的表面积是36平方厘米，而如果把它看作一个完整的几何体，再千方百计去求表面积，是很难的事情. 在几何记数问题中，如果单纯的理解为几何问题，很难解决，数形结合思想非常重要.
例2观察下表中三角形个数变化规律，填表并回答下面问题：如果图中三角形的个数是102个，则图中应有多少条横截线？
分析：本题表面看来是一道几何题，但其实它的规律必须通过代数的方法总结才能得到，我们不可能无休止地去画，无休止地去数，所以探究数量关系，必不可少.
二、通过几何变换解决计算问题
例3如图3是一块矩形ABCD的场地，长AB=102m，宽AD=51m，从A、B两处入口的中路宽都为1m，两小路汇合处路宽为2m，其余部分种植草坪，则草坪面积为多少平方米？
分析：我们只要将几何图形进行重新组装，黑色部分刚好组成一个矩形，矩形的面积就是草坪面积，很轻松地借助几何变换解决了问题.
例4将五个边长都为2cm的正方形按如图4所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和为 （）
A． 2cm2B． 4cm2C． 6cm2D． 8cm2
分析：因为每个阴影部分的面积通过全等均可证明为正方形面积的 ，所以图中四块阴影面积的和为一个正方形的面积，即4cm2. 所以选B.
三、在变幻莫测的动态图形中抓住数值的永恒不变性
例5图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b）：在图5中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分）；在图6中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（即阴影部分）.
（1）在图7中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影；
（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：
（3）联想与探索：如图8，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的.
分析：在不断的变化过程中，虽然图形改变了形状，但我们发现阴影部分的面积永远可以看作底为1，高为b的平行四边形的面积.
解：（1）画图，如图9（要求对应点在水平位置上，宽度保持一致）；
（2）S1=ab-b，S2=ab-b，S3=ab-b；
（3）猜想：依据前面的有关计算，可以猜想草地的面积仍然是ab－b.
方案：1. 将“小路”沿着左右两个边界“剪去”；
2. 将左侧的草地向右平移一个单位；
3. 得到一个新的矩形（如图10）.
理由：在新得到的矩形中，其纵向宽仍然是b，其水平方向的长变成了a－1，
所以草地的面积就是b（a－1）=ab－b.
所以抓住数值不变性是解决问题的关键.
例6把两个全等的等腰直角三角形的三角板ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图11），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合. 现将三角板EFG绕O点顺时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°)，四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图12）. 在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论.
解：（1）在上述旋转过程中，BH＝CK，四边形CHGK的面积不变.
证明：连结CG.
∵△ABC为等腰直角三角形，O（G）为其斜边中点，
∴ CG=BG,CG⊥AB.
∴∠ACG=∠B=45°.
∵∠BGH与∠CGK均为旋转角，
∴∠BGH=∠CGK.
∴△BGH≌△CGK.
∴ BH=CK,S△BGH=S△CGK.
∴ S四边形CHGK=S△CHG+S△CGK=S△CHG+S△BGH= S△ABC= × ×4×4=4.
∴四边形CHGK的面积为4，是一个定值，在旋转过程中没有变化.
在很多定值问题中，我们一定要动中取静，从纷繁的变化条件中，剖析出问题的实质.
四、在数量变化中，寻求解决问题方法的一致性
数少形时难直观，形少数时难入微. 但我们也应注意图形变换中可能导致的数量变化，还须灵活掌握.
例7在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D， BE⊥MN于点E.
（1）当直线MN绕点C旋转到如图13所示的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE.
（2）当直线MN绕点C旋转到如图14的位置时，求证：DE=AD-BE.
（3）直线MN绕点C旋转到如图15所示的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.
解：（1）①∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°.
∴∠BCE+∠ACD=90°.
∴∠CAD=∠BCE.
∵ AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°，
∴△ADC≌△CEB.
②∵△ADC≌△CEB，
∴ CE=AD，CD=BE.
∴ DE=CE+CD=AD+BE.
（2）∵∠ACB=∠CEB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=∠BCE+∠CBE=90°.
∴∠ACD=∠CBE.
又∵ AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°，
∴△ADC≌△CEB.
∴ CE=AD，CD=BE.
∴ DE=CE-CD=AD-BE.
（3）MN旋转到如图15所示的位置时，AD、DE、BE所满足的等量关系是DE=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）.
∵∠ACB=∠CEB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=∠BCE+∠CBE=90°.
∴∠ACD=∠CBE.
又∵ AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°，
∴△ADC≌△CEB.
∴ CE=AD，CD=BE.
∴ DE=CD-CE=BE-AD.
我们发现，虽然AD、DE、BE所满足的等量关系发生了变化，但探索规律的方法却不变，都是通过三角形全等得出结论.
五、点动成线，通过数据定图形
例8（跳水问题）某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，如图16所示身体（看成一点）在空中运动路线是坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距离水面10 米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误. （1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3 米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由.
分析：首先应将运动员抽象为一个质点，设出相关解析式y=ax2+bx+c，观察图形将顶点纵坐标 和入水点位置（2，-10）得出c=0，4a+2b+c=-10， = .
解得：a= ，b= ，c=0或a= ，b=-2，c=0，
但 >0，∴y=- x2+ x.而当运动员在空中距池边的水平距离为3 米时，即x=3 -2= 时，y=- . 此时运动员距水面10- = <5，所以会失误.
此题表面看来是跳水问题，实际上就是求二次函数解析式问题，和导弹能否击中目标问题属同一问题，用数据解决图形问题，其乐无穷.
从数、式、方程、不等式到函数解直角三角形、圆，无不闪烁着数形结合思想的光辉，不失时机地把数与形结合起来，即把数的准确性与形的直观性结合起来，可以收到意想不到的效果. 埃及的金字塔之所以美丽是因为它神秘的建筑原理，那么想深入了解它最起码要知道它的高，而几何的相似让这么一个伟大的工程如测一个旗杆的高度一样简单，而让学生去完成一个测量问题，他们会想出近30种办法.数与形难舍难分，数无形时很迷茫，代数只不过是书写的几何，而几何只不过是图形的代数.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文