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摘 要：数学的实验性操作活动是数学活动的重要形式之一，而小学数学的实验性操作活动的工具就是学具。但当今现状是严重缺乏与教材配套的数学学具，特别是高年级。学具的缺乏对学生的验证性、探索性、创造性的学习影响非常大。因此，自主精心设计学具，提高课堂学习特别是探究式学习的实效成为必然。本文中结合笔者教学实践中对学具设计的思考，和同行交流探讨。
关键词：数学活动；学具；探究学习
一、问题的提出
新课程标准为数学课程目标体系成功地设置了一个支点。它将所有数学课程目标的达成集中于现实的、有意义的、富有挑战性的数学活动之中。有效的数学学习应在蕴含思维的“数学活动”中产生，数学教学是“数学活动”的过程。数学活动的进行是学生借助学具发挥潜力，创造性展示的过程。在教与学的过程中，应尽可能地给学生提供直观形象地观察，切实深刻地操作、试验及独立思考的机会，在实际的操作、整理、分析和探索中体味数学，从而内化数学思维。所以，学具的多维度使用是数学改革的重要方向。
但当今的现状是严重缺乏与教材配套的数学学具，低年级还稍好一些，高年级基本上没有。而高年级数学学习却正是处在从直观到抽象、从简单到复杂、从平面到立体的重要过渡阶段，尽管多媒体技术已在数学课堂中显示出一些优势，但学具的特点及操作活动的特点，尤其是一些探索性学具的操作活动，为学生积极探究、主动获得知识提供了机会，为学生感知具体数学知识的现实背景、来源创造了条件。同时学具的形象性、具体性，便于学生理解以此为载体的数学知识，让学生摆弄学具这种行之有效的直观手段，对于一些适宜的教学内容来说，仍具有不可替代性。因此，学具的缺乏对学生的验证性、探索性、创造性的学习影响非常大，甚至可以说让学生在“做中学”成了一句空话。自主精心设计学具，提高数学课堂学习特别是探究式学习的实效成为必然。
二、精心设计合适的学具，使其成为学生探究学习的“助推器”
1.学具的设计应具有针对性，能够有效地促进学生知识结构的形成
在数学学习中，学生运用学具操作不是要直接向学生说明某一数学概念和计算方法，而是让学生通过动手操作去观察、思考、探索和发现数学中的规律性东西，因而学具的选择要很慎重。在使用学具前，教师应该对学具有充分的了解。学具在使用中可能会出现哪些问题，如何应对，通过操作可能会得到怎样的结论等，教师应做到心中有数。如果教师能够根据自己的事先了解对学具进行改进或创新，那么具有针对性的学具的设计将会成为课堂教学过程中的一个亮点。
案例：苏教版四年级下册“三角形边的关系”。
学具：纸尺一把，就是一张长12厘米的长方形纸片，用笔在其中一条长上加重描色，并以厘米為单位画好刻度。
在这节课中，教材上的第一个环节就是让学生通过动手实践、自主探索、合作交流，发现三角形任意两边之和大于第三边。基本上采用的方法都是让学生动手用小棒来围三角形，学具一般都是小棒或小棒的替代品，如吸管、牙签之类。但不论小棒还是这些替代品学具，都不能有效地解决这个环节的一个难点：三角形两边之和能否等于第三 边。我们知道，这个操作环节的难点就是有的学生就能用长如2厘米、4厘米、6厘米的三根小棒围成三角形！
我们都知道其实用这样的三根小棒是围不成三角形的，但学生们相信自己的眼睛，这时教师往往会对学生的观点进行纠正，指出接头的地方没有对齐，再往右动一下上面就不接触了，但这样的说明不是很有说服力。如果再用两点之间线段最短的理论来证明，又完全违背了让学生通过操作性活动积累经验的本质。那该怎样解决？关键要看问题产生在哪里，问题就出在选择的学具上，三角形的三条边是三条线段，而无论小棒还是牙签其实都是圆柱，有一定的粗细程度，从而导致问题产生，如下图：
解决问题的根本途径是要使选择的学具没有粗细度，但没有粗细度又怎么好操作呢？笔者设计了这样的学具：
选用一张长12厘米的长方形纸片，用笔在其中一条长上加重描色，并以厘米为单位画好刻度。纸片是我事先裁好发给学生的，每人一张，上课前要求学生加重描色并画好刻度。操作时要求学生自己把这把纸尺剪成三段，每段长都是整厘米数，然后尝试用剪成的三段来围三角形。这样的学具设计不仅打破了原来总是提供给学生固定长度的三条线段的限制，让学生自己自由选择三条线段，而且更重要的是这把纸尺是数学图形与实物的完美结合。学生动手操作的是纸片，但用来围三角形的是三条标准的线段，不仅便于操作，而且用这样的学具就没有实物学具有粗细的问题，从而使得问题迎刃而解。如下图：
2.学具的设计应具有延伸性，能够有效地加深学生思维深度
高年级的学生的思维处于由具体形象思维过渡到抽象逻辑思维的转折时期，仍需要依据实际经验或借助具体形象的支持来获得概念。在课堂学习中，应让学生根据自身已有的生活经验操作实践，并通过观察、分析、比较、讨论，自己获得知识，锻炼自己的分析、推导和概括能力。在教学中，如果通过操作学具，把概念的关键属性和学生的认知结构相联系，那么必然能够加深学生对知识本质的理解与掌握。
案例：苏教版五年级上册“小数的性质”。
这节课看似简单，很多教师也会觉得很好上，课后练习的反馈也很好。但其实这节课的知识本质对学生来说，还是具有一定难度的，0.3为什么等于0.30？
这需要学生对于小数的意义有着深入的理解，因此对这节课中的学具，我并没有简单采用教材中提供的课件演示，而是采用很基础的动手操作，来加深学生对小数的认识。
学具：每组准备2个同样大小的长方形、正方形（各分别平均分成10份、100份）；1把学生米尺；2条1米长的线绳；1张数位顺序表；每人一张练习纸及水彩笔、直尺等。
探究过程：任意写一个一位小数， 然后在它的末尾添上一个0或者两个0，充分利用学具袋里提供的学习材料，或者运用自己积累的学习、生活经验，验证它们的关系是否相等。 以提供的正方形学具为例，可以将两个同样大的正方形分别平均分成10份、100份，其中的3份写成小数就是0.3，另一个正方形取其中的30份就是0.30，将它们移动，重合比较；如果再将正方形平均分成1000份，表示其中的300份，可以用什么小数表示？那我们如果将它与前两个图重叠，会是什么结果？请学生先闭上眼睛想象一下，再观察屏幕，和你的想象一样吗？那我们可以写一个怎样的等式？（0.3=0.30=0.300）
学生们不仅可以通过眼前直观的学具来真正理解这一抽象的数学知识，还可以自然而然从直观的学具出发，进一步想象。这从抽象到直观，再从直观到抽象的过程，有利于学生思维深度的拓展。
案例：苏教版五年级下册“圆的认识”。
“圆，一中同长也”，这句话可以说是圆认识的核心本质。那如何让学生理解这个本质，而不是简单地死记硬背？我们可以通过巧妙的学具来帮助学生突破难点，掌握重点。
学具：两根细绳，一根是棉线，另一根是具有弹性的橡皮筋，两根绳子一端各拴着一个小球。如下图：
探究过程：选两名学生各用这两根绳子来画圆。（固定绳子未拴球的一端，笔在拴球的一端，拉直绳子画一周）
很明显，使用橡皮筋绳子的学生画不成圆，因为不是“同长”，这样原来需要动手去测量验证的“同一个圆里，半径的长度都相等”就在这打下了深刻的“烙印”。
3.学具的设计应具有生成性，能够促进学生思维广度的拓展
江苏省南京育英第二外国语学校每个教室都安装有白板，与传统的电脑PPT演示不同，白板课件具有很強的交互性。我觉得这是一个很好的学具资源，对此也进行了认真的钻研，发现其在课堂探究学习中可以发挥强大的作用。
案例：苏教版六年级上册“用分数表示可能性的大小”。
学具：可以随机转动的“幸运大转盘”。
在这节课的练习设计中，很多教师都会采用一道“幸运大转盘”的练习，但在我的教学中，“幸运大转盘”并不是一道练习，而是学生可以动手的学具。在教学中有一个环节是学生分组进行比赛，采用转转盘游戏来决定由哪一组来答题。设计的一个用意是让学生加深对等可能性的理解与运用。
课件出示：把全班分成四组，分别叫灰组、白组、黑组、黑线组，设计一个转盘，转盘上的指针停在哪种色块上，相应色块的组就获得答题资格，答对一题得一颗五角星。
课件出示方案一：
师：哪个组有意见，为什么？为什么不公平？
课件出示方案二 ：
师：这样设计公平吗？为什么？
学生可以随机点动转盘旋转，转盘转动的结果并不是我事先设计好的，完全由白板程序决定。另一个用意是在练习的最后，我一共准备了四道题，四个组获得答题权的可能性都有，但最后很可能并不是每个组平均回答一题，这种情况的出现很好地让学生接受了可能性只是事件发生的概率，实际发生时有一定的偶然性这个事实，使得抽象的概率变为了活生生的事例，学生在理解的同时其实也突破了这节课最大的难点。
总之，数学的实验操作活动是数学学习活动的重要组成部分。动手操作为学生积累了宝贵的感性材料，它是学生进行抽象思维的“根”与“源”。根据学生不同年龄阶段的认知特点，在数学课堂教学中正确选择和使用学具，促进学生知识与技能的发展，从而真正实现学生在“做”中学，也使我们的数学课堂教学通过学具在细微处彰显出智慧。
（作者单位：江苏省南京育英第二外国语学校小学部）
关键词：数学活动；学具；探究学习
一、问题的提出
新课程标准为数学课程目标体系成功地设置了一个支点。它将所有数学课程目标的达成集中于现实的、有意义的、富有挑战性的数学活动之中。有效的数学学习应在蕴含思维的“数学活动”中产生，数学教学是“数学活动”的过程。数学活动的进行是学生借助学具发挥潜力，创造性展示的过程。在教与学的过程中，应尽可能地给学生提供直观形象地观察，切实深刻地操作、试验及独立思考的机会，在实际的操作、整理、分析和探索中体味数学，从而内化数学思维。所以，学具的多维度使用是数学改革的重要方向。
但当今的现状是严重缺乏与教材配套的数学学具，低年级还稍好一些，高年级基本上没有。而高年级数学学习却正是处在从直观到抽象、从简单到复杂、从平面到立体的重要过渡阶段，尽管多媒体技术已在数学课堂中显示出一些优势，但学具的特点及操作活动的特点，尤其是一些探索性学具的操作活动，为学生积极探究、主动获得知识提供了机会，为学生感知具体数学知识的现实背景、来源创造了条件。同时学具的形象性、具体性，便于学生理解以此为载体的数学知识，让学生摆弄学具这种行之有效的直观手段，对于一些适宜的教学内容来说，仍具有不可替代性。因此，学具的缺乏对学生的验证性、探索性、创造性的学习影响非常大，甚至可以说让学生在“做中学”成了一句空话。自主精心设计学具，提高数学课堂学习特别是探究式学习的实效成为必然。
二、精心设计合适的学具，使其成为学生探究学习的“助推器”
1.学具的设计应具有针对性，能够有效地促进学生知识结构的形成
在数学学习中，学生运用学具操作不是要直接向学生说明某一数学概念和计算方法，而是让学生通过动手操作去观察、思考、探索和发现数学中的规律性东西，因而学具的选择要很慎重。在使用学具前，教师应该对学具有充分的了解。学具在使用中可能会出现哪些问题，如何应对，通过操作可能会得到怎样的结论等，教师应做到心中有数。如果教师能够根据自己的事先了解对学具进行改进或创新，那么具有针对性的学具的设计将会成为课堂教学过程中的一个亮点。
案例：苏教版四年级下册“三角形边的关系”。
学具：纸尺一把，就是一张长12厘米的长方形纸片，用笔在其中一条长上加重描色，并以厘米為单位画好刻度。
在这节课中，教材上的第一个环节就是让学生通过动手实践、自主探索、合作交流，发现三角形任意两边之和大于第三边。基本上采用的方法都是让学生动手用小棒来围三角形，学具一般都是小棒或小棒的替代品，如吸管、牙签之类。但不论小棒还是这些替代品学具，都不能有效地解决这个环节的一个难点：三角形两边之和能否等于第三 边。我们知道，这个操作环节的难点就是有的学生就能用长如2厘米、4厘米、6厘米的三根小棒围成三角形！
我们都知道其实用这样的三根小棒是围不成三角形的，但学生们相信自己的眼睛，这时教师往往会对学生的观点进行纠正，指出接头的地方没有对齐，再往右动一下上面就不接触了，但这样的说明不是很有说服力。如果再用两点之间线段最短的理论来证明，又完全违背了让学生通过操作性活动积累经验的本质。那该怎样解决？关键要看问题产生在哪里，问题就出在选择的学具上，三角形的三条边是三条线段，而无论小棒还是牙签其实都是圆柱，有一定的粗细程度，从而导致问题产生，如下图：
解决问题的根本途径是要使选择的学具没有粗细度，但没有粗细度又怎么好操作呢？笔者设计了这样的学具：
选用一张长12厘米的长方形纸片，用笔在其中一条长上加重描色，并以厘米为单位画好刻度。纸片是我事先裁好发给学生的，每人一张，上课前要求学生加重描色并画好刻度。操作时要求学生自己把这把纸尺剪成三段，每段长都是整厘米数，然后尝试用剪成的三段来围三角形。这样的学具设计不仅打破了原来总是提供给学生固定长度的三条线段的限制，让学生自己自由选择三条线段，而且更重要的是这把纸尺是数学图形与实物的完美结合。学生动手操作的是纸片，但用来围三角形的是三条标准的线段，不仅便于操作，而且用这样的学具就没有实物学具有粗细的问题，从而使得问题迎刃而解。如下图：
2.学具的设计应具有延伸性，能够有效地加深学生思维深度
高年级的学生的思维处于由具体形象思维过渡到抽象逻辑思维的转折时期，仍需要依据实际经验或借助具体形象的支持来获得概念。在课堂学习中，应让学生根据自身已有的生活经验操作实践，并通过观察、分析、比较、讨论，自己获得知识，锻炼自己的分析、推导和概括能力。在教学中，如果通过操作学具，把概念的关键属性和学生的认知结构相联系，那么必然能够加深学生对知识本质的理解与掌握。
案例：苏教版五年级上册“小数的性质”。
这节课看似简单，很多教师也会觉得很好上，课后练习的反馈也很好。但其实这节课的知识本质对学生来说，还是具有一定难度的，0.3为什么等于0.30？
这需要学生对于小数的意义有着深入的理解，因此对这节课中的学具，我并没有简单采用教材中提供的课件演示，而是采用很基础的动手操作，来加深学生对小数的认识。
学具：每组准备2个同样大小的长方形、正方形（各分别平均分成10份、100份）；1把学生米尺；2条1米长的线绳；1张数位顺序表；每人一张练习纸及水彩笔、直尺等。
探究过程：任意写一个一位小数， 然后在它的末尾添上一个0或者两个0，充分利用学具袋里提供的学习材料，或者运用自己积累的学习、生活经验，验证它们的关系是否相等。 以提供的正方形学具为例，可以将两个同样大的正方形分别平均分成10份、100份，其中的3份写成小数就是0.3，另一个正方形取其中的30份就是0.30，将它们移动，重合比较；如果再将正方形平均分成1000份，表示其中的300份，可以用什么小数表示？那我们如果将它与前两个图重叠，会是什么结果？请学生先闭上眼睛想象一下，再观察屏幕，和你的想象一样吗？那我们可以写一个怎样的等式？（0.3=0.30=0.300）
学生们不仅可以通过眼前直观的学具来真正理解这一抽象的数学知识，还可以自然而然从直观的学具出发，进一步想象。这从抽象到直观，再从直观到抽象的过程，有利于学生思维深度的拓展。
案例：苏教版五年级下册“圆的认识”。
“圆，一中同长也”，这句话可以说是圆认识的核心本质。那如何让学生理解这个本质，而不是简单地死记硬背？我们可以通过巧妙的学具来帮助学生突破难点，掌握重点。
学具：两根细绳，一根是棉线，另一根是具有弹性的橡皮筋，两根绳子一端各拴着一个小球。如下图：
探究过程：选两名学生各用这两根绳子来画圆。（固定绳子未拴球的一端，笔在拴球的一端，拉直绳子画一周）
很明显，使用橡皮筋绳子的学生画不成圆，因为不是“同长”，这样原来需要动手去测量验证的“同一个圆里，半径的长度都相等”就在这打下了深刻的“烙印”。
3.学具的设计应具有生成性，能够促进学生思维广度的拓展
江苏省南京育英第二外国语学校每个教室都安装有白板，与传统的电脑PPT演示不同，白板课件具有很強的交互性。我觉得这是一个很好的学具资源，对此也进行了认真的钻研，发现其在课堂探究学习中可以发挥强大的作用。
案例：苏教版六年级上册“用分数表示可能性的大小”。
学具：可以随机转动的“幸运大转盘”。
在这节课的练习设计中，很多教师都会采用一道“幸运大转盘”的练习，但在我的教学中，“幸运大转盘”并不是一道练习，而是学生可以动手的学具。在教学中有一个环节是学生分组进行比赛，采用转转盘游戏来决定由哪一组来答题。设计的一个用意是让学生加深对等可能性的理解与运用。
课件出示：把全班分成四组，分别叫灰组、白组、黑组、黑线组，设计一个转盘，转盘上的指针停在哪种色块上，相应色块的组就获得答题资格，答对一题得一颗五角星。
课件出示方案一：
师：哪个组有意见，为什么？为什么不公平？
课件出示方案二 ：
师：这样设计公平吗？为什么？
学生可以随机点动转盘旋转，转盘转动的结果并不是我事先设计好的，完全由白板程序决定。另一个用意是在练习的最后，我一共准备了四道题，四个组获得答题权的可能性都有，但最后很可能并不是每个组平均回答一题，这种情况的出现很好地让学生接受了可能性只是事件发生的概率，实际发生时有一定的偶然性这个事实，使得抽象的概率变为了活生生的事例，学生在理解的同时其实也突破了这节课最大的难点。
总之，数学的实验操作活动是数学学习活动的重要组成部分。动手操作为学生积累了宝贵的感性材料，它是学生进行抽象思维的“根”与“源”。根据学生不同年龄阶段的认知特点，在数学课堂教学中正确选择和使用学具，促进学生知识与技能的发展，从而真正实现学生在“做”中学，也使我们的数学课堂教学通过学具在细微处彰显出智慧。
（作者单位：江苏省南京育英第二外国语学校小学部）