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摘 要：高等代数与空间解析几何具有紧密的联系。本文主要是讨论高等代数中的行列式、向量及线性方程组这三个数学工具在空间解析几何中的实际应用。
关键词：行列式；向量；齐次线性方程组；空间解析几何
空间解析几何主要研究两类问题，即用代数方法研究几何图形的几何结构，及用图形的方法给出方程的直观几何解释。高等代数的知识是空间解析几何的主要研究工具，同时空间解析几何也可以使较抽象的高等代数有一个直观的几何应用。因此高等代数与空间解析几何具有紧密的联系，本文主要讨论高等代数中的行列式、向量及齐次线性方程组这三个代数工具在空间解析几何中的应用。
一、向量在空间解析几何中的应用
向量是高等代数中的重要内容，空间解析几何利用三维向量的相关代数知识把直观的几何图形的几何结构转化为代数的定量计算。由下面的例子来说明此问题：
例1：设L，M，N分别为ΔABC三边BC，CA，AB的中点，证明：三中线向量■，■，■可以构成一个三角形。
分析：这一题如果单以几何角度来讨论的话，需作出三条中线来直观地观察三条中线是否可以拼成一个三角形，这样很难严谨地证明。但若以向量的思想来考虑的话，只需利用■，■，■可以构成一个三角形的充要条件是■，■，■=■这一性质即可。
证明：由中点公式知■=■（■+■），■=■（■+■），■=■（■+■），可得■+■+■=■，因此■，■，■可构成一个三角形。
二、行列式在空间解析几何中的应用
行列式是高等代数中的一个重要工具，应用行列式可以使空间解析几何的一些结论有结构化的表达，并使一些繁杂的计算变得简洁。下面举例说明行列式的应用。
1.结论的结构化
例如定理：在仿射坐标系{O；■，■，■}中，三个非零向量i■=（xi，yi，zi），（i=1，2，3）共面的充要条件是x1 y1 z1x2 y2 z2x3 y3 z3=0.类似此类结论有很多。
2.计算的简洁化
例2：已知两直线l1：■=■=■，l2：■=■=■，试证明两直线l1与l2为异面直线，并求l1与l2间的距离。
分析：该题如果利用几何思想需建系画出两直线，并作出辅助图形来求两异面直线间的距离，但无论画图还是做辅助图形都较为繁杂。若利用由行列式来表达的异面直线判定定理和距离公式计算就变简洁了。
解：直线l1过点M1（3，8，3）方向向量为υ1=（3，-1，1），直线l2过点M2（-3，-7，6）方向向量为υ2=（-3，2，4），Δ=（■，υ1，υ2）=-6 -15 3 3 -1 1-3 2 4=270≠0，所以l1与l2为异面直线，则l1与l2间的距离为：
d=■=3■
三、齐次线性方程组在空间解析几何中的应用
空间解析几何中，由于向量、行列式等知识的引入自然地也就有需要应用线性方程组相关定理的地方。如：
性质：三个平面πi：Aix+Biy+Ciz+Di=0（i=1，2，3）相交于一点？圳Δ=A1 B1 C1A2 B2 C2A3 B3 C3≠0
分析：此性质的证明应用了齐次线性方程组有唯一解的充要条件是其系数矩阵的行列式不为零这一定理。
证明：三平面交于一点？圳A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0A3x+B3y+C3z+D3=0有唯一解？圳Δ≠0.
高等代数较为抽象，而空间解析几何则具有直观性。空间解析几何应用了向量、行列式和齐次线性方程组等这些抽象的代数工具，很大程度上简化了解题步骤，避免了繁杂的计算与推导。可见高等代数为空间解析几何赋予了量的含义，它们的这种数形结合的思想是空间解析几何教学中的核心思想之一。
参考文献：
[1]吕林根，许子道.解析几何（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2006.
[2]李养成.空间解析几何（新版）[M].北京：科学出版社，2007.
关键词：行列式；向量；齐次线性方程组；空间解析几何
空间解析几何主要研究两类问题，即用代数方法研究几何图形的几何结构，及用图形的方法给出方程的直观几何解释。高等代数的知识是空间解析几何的主要研究工具，同时空间解析几何也可以使较抽象的高等代数有一个直观的几何应用。因此高等代数与空间解析几何具有紧密的联系，本文主要讨论高等代数中的行列式、向量及齐次线性方程组这三个代数工具在空间解析几何中的应用。
一、向量在空间解析几何中的应用
向量是高等代数中的重要内容，空间解析几何利用三维向量的相关代数知识把直观的几何图形的几何结构转化为代数的定量计算。由下面的例子来说明此问题：
例1：设L，M，N分别为ΔABC三边BC，CA，AB的中点，证明：三中线向量■，■，■可以构成一个三角形。
分析：这一题如果单以几何角度来讨论的话，需作出三条中线来直观地观察三条中线是否可以拼成一个三角形，这样很难严谨地证明。但若以向量的思想来考虑的话，只需利用■，■，■可以构成一个三角形的充要条件是■，■，■=■这一性质即可。
证明：由中点公式知■=■（■+■），■=■（■+■），■=■（■+■），可得■+■+■=■，因此■，■，■可构成一个三角形。
二、行列式在空间解析几何中的应用
行列式是高等代数中的一个重要工具，应用行列式可以使空间解析几何的一些结论有结构化的表达，并使一些繁杂的计算变得简洁。下面举例说明行列式的应用。
1.结论的结构化
例如定理：在仿射坐标系{O；■，■，■}中，三个非零向量i■=（xi，yi，zi），（i=1，2，3）共面的充要条件是x1 y1 z1x2 y2 z2x3 y3 z3=0.类似此类结论有很多。
2.计算的简洁化
例2：已知两直线l1：■=■=■，l2：■=■=■，试证明两直线l1与l2为异面直线，并求l1与l2间的距离。
分析：该题如果利用几何思想需建系画出两直线，并作出辅助图形来求两异面直线间的距离，但无论画图还是做辅助图形都较为繁杂。若利用由行列式来表达的异面直线判定定理和距离公式计算就变简洁了。
解：直线l1过点M1（3，8，3）方向向量为υ1=（3，-1，1），直线l2过点M2（-3，-7，6）方向向量为υ2=（-3，2，4），Δ=（■，υ1，υ2）=-6 -15 3 3 -1 1-3 2 4=270≠0，所以l1与l2为异面直线，则l1与l2间的距离为：
d=■=3■
三、齐次线性方程组在空间解析几何中的应用
空间解析几何中，由于向量、行列式等知识的引入自然地也就有需要应用线性方程组相关定理的地方。如：
性质：三个平面πi：Aix+Biy+Ciz+Di=0（i=1，2，3）相交于一点？圳Δ=A1 B1 C1A2 B2 C2A3 B3 C3≠0
分析：此性质的证明应用了齐次线性方程组有唯一解的充要条件是其系数矩阵的行列式不为零这一定理。
证明：三平面交于一点？圳A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0A3x+B3y+C3z+D3=0有唯一解？圳Δ≠0.
高等代数较为抽象，而空间解析几何则具有直观性。空间解析几何应用了向量、行列式和齐次线性方程组等这些抽象的代数工具，很大程度上简化了解题步骤，避免了繁杂的计算与推导。可见高等代数为空间解析几何赋予了量的含义，它们的这种数形结合的思想是空间解析几何教学中的核心思想之一。
参考文献：
[1]吕林根，许子道.解析几何（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2006.
[2]李养成.空间解析几何（新版）[M].北京：科学出版社，2007.