证明线段的积相等最常用的方法是利用相似三角形的性质和面积法.但在利用相似三角形的性质解题时，面对复杂的图形，要寻找合适的相似三角形会很困难.为了使大家更好地掌握解答此类题目的技巧，现举例分析如下.
　　 一、利用相似三角形的性质
　　1.利用比例式
　　首先，把积相等的式子化为比例式.观察比例式中的四条线段，寻找包含它们的两个三角形，再设法证明这两个三角形相似，并得到待证式子.
　　例1已知：如图1，AD、BE是△ABC的高，F是垂心.求证：AF·FD=BF·EF.
　　分析： 要证AF·FD=BF·EF，只需证 = .横看等式上边AF、EF在△AEF中，等式下边FD、BF在△BDF中.因此，只需证明△AEF∽△BDF即可.
　　证明： ∵AD、BE是△ABC的高，∴∠AEF=∠BDF=90°.
　　又∵∠AFE=∠BFD，∴△AEF∽△BDF. ∴ = ，即AF·FD=BF·EF.
　　2.利用相等线段
　　当待证式子中的四条线段，分布在两个明显不相似的三角形中时，可对条件进行分析，观察题中是否存在与待证式子中的线段相等的线段.如果存在，将待证式子中的线段用相等线段代换，然后再进行求解.
　　例2已知：如图2，在△ABC中，∠ABE=∠C，BF=BD，求证：AC·BD=AB·CD.
　　分析： 要证AC·BD=AB·CD，只需证 = ，横看等式上边的AC、CD在△ACD中，等式下边AB、BD在△ABD中.但这两个三角形明显不相似.这时，考虑到已知条件中有BF=BD，试用BD代换BF，得到比例式 = ，因此我们只需证明△ABF∽△ACD，问题就迎刃而解了.
　　证明： ∵BF=BD，∴ ∠BFD=∠BDF.∴ ∠AFB=∠ADC.
　　又∵∠ABE=∠C，∴△ABF∽△ACD. ∴= .
　　由BF=BD， ∴ = ，即AC·BD=AB·CD.
　　3.利用中间比
　　当待证式子中的四条线段，所涉及的两个三角形不相似而题中又无相等线段，但由条件可以看出图形中有多对相似三角形时，应仔细观察待证式子中的四条线段，试着寻找与其中几条线段相关的两对相似三角形，然后利用比例的传递性来证明.
　　例3已知：如图3，AC是?荀ABCD的对角线，G是AD延长线上的点，BG交AC于F，交CD于E. 求证： BF·AB=CE·FG.
　　分析： 要证BF·AB=CE·FG，只需证 = .而上述的两种方法都行不通，这时我们利用?荀ABCD的性质得到，AG∥BC，CE∥AB，则 = ， = .故 是中间比，用它进行代换就能顺利地解答本题.
　　证明：∵在?荀ABCD中，AD∥BC， ∴△AFG ∽△CFB . ∴ = .
　　又 ∵在?荀ABCD中，AB∥CD， ∴△ABF∽△CEF. ∴ = .
　　∴＝ ，即BF·ＡＢ＝CE·FG.
　　4.利用辅助线
　　若题中没有相似三角形，可以考虑添加平行线，构造出相似三角形.
　　例4 已知：如图4，在△ABC中，D是AC上一点，延长CB到E，使BE=AD，ED交AB于F，求证：DF·AC=BC·EF.
　　分析：可将DF·AC=BC·EF转化为 = .观察比例式下边AC、BC在△ABC中，而上边DF、EF在同一直线上，因此不能直接利用相似三角形来证明.这时，可考虑作DM∥AB交BC于M，得 = = ， = ，即证.
　　证明：作DM∥AB交BC于M.
　　∵在△EDM中，DM ∥AB， ∴ = .
　　∵在△ABC中，DM∥ AB，∴ = .
　　又 ∵ BE=AD，∴ = .∴ = ，即DF·AC=BC·EF.
　　二、利用面积相等
　　当待证式子的两边的线段分别垂直时，我们常常利用面积相等的方法来证明.
　　例5已知：如图5，在?荀ABCD中，AE垂直BC于E，AF垂直CD于F，求证：BC·AE=CD·AF.
　　分析： 我们不难发现待证式子的左右两边的两条线段的乘积正好是平行四边形的面积，于是问题马上就得以解决.
　　证明：∵S ABCD =BC·AE，S ?荀ABCD =CD·AF，
　　∴ BC·AE=CD·AF.
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”