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例1 学校草坪上要空出一块直角三角形的地种花，已知这个直角三角形的两边长分别为4 m和5 m，那么这块直角三角形空地的面积为_______m2.
【错误解答】因为是块直角三角形空地，由勾股定理可得，32+42=52，所以第三条边长为3 m，此时直角三角形空地的面积：■×3×4=6（m2）.
【错因剖析】由于不能正确理解勾股定理的内涵——两条直角边的平方和等于斜边的平方以及受勾股数3，4，5的影响，导致了错误. 在直角三角形中，要弄清哪个是直角，从而确定哪条是斜边，才能写出正确的勾股定理表达式.
【正确解答】此题要分两种情况：
（1） 当已知的4和5两边中有一条为斜边，则5是斜边，由勾股定理，另一直角边的长为3，此时三角形空地的面积■×3×4=6；
（2） 当已知的4和5两条边都是直角边时，此时三角形空地的面积为■×4×5=10.
故这块直角三角形空地的面积为6 m2或10 m2.
例2 已知，在△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高为12，则BC边的长为_______.
【错误解答】先画出图形（如图1），在两个直角三角形中分别用勾股定理求BD和CD的长再相加即可.
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
BD2=AB2-AD2=202-122=256，则BD=16；
在Rt△ACD中，由勾股定理得，
CD2=AC2-AD2=152-122=81，则CD=9.
所以BC=BD+CD=16+9=25.
【错因剖析】从以上过程可看出，其分析问题的思路清晰，在直角三角形中两次利用勾股定理进行计算. 但是由于思维定势影响，就借助了“顺手”画出的∠C为锐角的三角形解决问题，而忽略了钝角三角形其高在形外的这种情形，因此导致漏解. 解决这类无图问题时，在借助图形分析的同时，要考虑解的多种可能性，避免漏解.
【正确解答】此题要分两种情况：
（1） 如图1，在Rt△ABD中，由勾股定理得，
BD2=AB2-AD2=202-122=256，则BD=16；
在Rt△ACD中，由勾股定理得，
CD2=AC2-AD2=152-122=81，则CD=9.
所以BC=BD+CD=16+9=25.
（2） 如图2，同（1）可求得BD=16，CD=9，所以BC=BD-CD=16-9=7.
综上，BC边的长为25或7.
例3 如图3，等腰△ABC中，AB=AC
=10，底边BC=12，求一腰上的高CH的长.
【错误解答】因为CH⊥AB，在Rt△ACH和Rt△BCH中，由勾股定理得，
AC2-AH2=CH2，BC2-BH2=CH2，
因此102-AH2=CH2，122-BH2=CH2.
【错因剖析】
该同学借助图形，分析在已知的两个直角三角形中利用勾股定理完全正确. 但是为什么最后这个题做不下去了？因为AH或BH的长度不知道，未知线段多导致其在解题过程中的无序，进而无法求解.
思路1：实际上，因为在两个直角三角形中都无法直接求得CH的长，因此采用间接方法，即设AH=x，则BH=10-x，在两个直角三角形中分别表示出公共边CH2即可列方程求得AH，然后再求出CH的长.
解法1：设AH=x，则BH=10-x，在Rt△ACH和Rt△BCH中，由勾股定理得，
AC2-AH2=CH2，BC2-BH2=CH2，
因此102-x2=122-（10-x）2，解得x=■.
在Rt△ACH中，由勾股定理得
CH2=AC2-AH2=102-■2=■，
所以CH=■.
思路2：既然未知量是等腰三角形一腰上的高，腰为已知量，只要先求出面积即可. 因此想到作底边上的高，先求三角形的面积.
解法2：如图4，作
AD⊥BC于点D.
因为AB=AC，AD⊥BC，所以BD=CD=■BC=6.
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
AD2=AB2-BD2=102-62=64，所以AD=8.
因为AD⊥BC，CH⊥AB，
所以S△ABC=■BC·AD=■AB·CH，所以CH=■=■.
例4 如图5所示的一块地，已知AD=4 m，CD=3 m，AD⊥DC，AB=13 m，BC=12 m，求这块地的面积.
【错误解答】因为AD⊥DC，考虑连接AC，则构造Rt△ACD，从而求得AC长为5，然后用两个直角三角形面积相减得这块地的面积.
在Rt△ACD中，AC2=CD2+AD2=32+42
=25，所以AC=5.
这块地的面积S=S△ABC-S△ADC=■AC·BC-■AD·CD=■×5×12-■×3×4=30-6
=24.
【错因剖析】这题的解题过程看起来没有问题，但是“AB=13 m”的条件难道多余吗？许多同学由于受特征结论及图的影响，直观判断三角形ABC是直角三角形而没有进行推理，导致了错误的发生.
【正确解答】在Rt△ACD中，AC2=CD2+AD2=32+42=25，所以AC=5.
在△ABC中，由于AC2+BC2=AB2，所以∠ACB=90°.
因此这块地的面积S=S△ABC-S△ADC=■AC·BC-■AD·CD=■×5×12-■×3×4=30-6=24.
【错误解答】因为是块直角三角形空地，由勾股定理可得，32+42=52，所以第三条边长为3 m，此时直角三角形空地的面积：■×3×4=6（m2）.
【错因剖析】由于不能正确理解勾股定理的内涵——两条直角边的平方和等于斜边的平方以及受勾股数3，4，5的影响，导致了错误. 在直角三角形中，要弄清哪个是直角，从而确定哪条是斜边，才能写出正确的勾股定理表达式.
【正确解答】此题要分两种情况：
（1） 当已知的4和5两边中有一条为斜边，则5是斜边，由勾股定理，另一直角边的长为3，此时三角形空地的面积■×3×4=6；
（2） 当已知的4和5两条边都是直角边时，此时三角形空地的面积为■×4×5=10.
故这块直角三角形空地的面积为6 m2或10 m2.
例2 已知，在△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高为12，则BC边的长为_______.
【错误解答】先画出图形（如图1），在两个直角三角形中分别用勾股定理求BD和CD的长再相加即可.
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
BD2=AB2-AD2=202-122=256，则BD=16；
在Rt△ACD中，由勾股定理得，
CD2=AC2-AD2=152-122=81，则CD=9.
所以BC=BD+CD=16+9=25.
【错因剖析】从以上过程可看出，其分析问题的思路清晰，在直角三角形中两次利用勾股定理进行计算. 但是由于思维定势影响，就借助了“顺手”画出的∠C为锐角的三角形解决问题，而忽略了钝角三角形其高在形外的这种情形，因此导致漏解. 解决这类无图问题时，在借助图形分析的同时，要考虑解的多种可能性，避免漏解.
【正确解答】此题要分两种情况：
（1） 如图1，在Rt△ABD中，由勾股定理得，
BD2=AB2-AD2=202-122=256，则BD=16；
在Rt△ACD中，由勾股定理得，
CD2=AC2-AD2=152-122=81，则CD=9.
所以BC=BD+CD=16+9=25.
（2） 如图2，同（1）可求得BD=16，CD=9，所以BC=BD-CD=16-9=7.
综上，BC边的长为25或7.
例3 如图3，等腰△ABC中，AB=AC
=10，底边BC=12，求一腰上的高CH的长.
【错误解答】因为CH⊥AB，在Rt△ACH和Rt△BCH中，由勾股定理得，
AC2-AH2=CH2，BC2-BH2=CH2，
因此102-AH2=CH2，122-BH2=CH2.
【错因剖析】
该同学借助图形，分析在已知的两个直角三角形中利用勾股定理完全正确. 但是为什么最后这个题做不下去了？因为AH或BH的长度不知道，未知线段多导致其在解题过程中的无序，进而无法求解.
思路1：实际上，因为在两个直角三角形中都无法直接求得CH的长，因此采用间接方法，即设AH=x，则BH=10-x，在两个直角三角形中分别表示出公共边CH2即可列方程求得AH，然后再求出CH的长.
解法1：设AH=x，则BH=10-x，在Rt△ACH和Rt△BCH中，由勾股定理得，
AC2-AH2=CH2，BC2-BH2=CH2，
因此102-x2=122-（10-x）2，解得x=■.
在Rt△ACH中，由勾股定理得
CH2=AC2-AH2=102-■2=■，
所以CH=■.
思路2：既然未知量是等腰三角形一腰上的高，腰为已知量，只要先求出面积即可. 因此想到作底边上的高，先求三角形的面积.
解法2：如图4，作
AD⊥BC于点D.
因为AB=AC，AD⊥BC，所以BD=CD=■BC=6.
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
AD2=AB2-BD2=102-62=64，所以AD=8.
因为AD⊥BC，CH⊥AB，
所以S△ABC=■BC·AD=■AB·CH，所以CH=■=■.
例4 如图5所示的一块地，已知AD=4 m，CD=3 m，AD⊥DC，AB=13 m，BC=12 m，求这块地的面积.
【错误解答】因为AD⊥DC，考虑连接AC，则构造Rt△ACD，从而求得AC长为5，然后用两个直角三角形面积相减得这块地的面积.
在Rt△ACD中，AC2=CD2+AD2=32+42
=25，所以AC=5.
这块地的面积S=S△ABC-S△ADC=■AC·BC-■AD·CD=■×5×12-■×3×4=30-6
=24.
【错因剖析】这题的解题过程看起来没有问题，但是“AB=13 m”的条件难道多余吗？许多同学由于受特征结论及图的影响，直观判断三角形ABC是直角三角形而没有进行推理，导致了错误的发生.
【正确解答】在Rt△ACD中，AC2=CD2+AD2=32+42=25，所以AC=5.
在△ABC中，由于AC2+BC2=AB2，所以∠ACB=90°.
因此这块地的面积S=S△ABC-S△ADC=■AC·BC-■AD·CD=■×5×12-■×3×4=30-6=24.