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摘 要：Gronwall不等式是数学中的重要不等式之一，它在数学、控制理论等领域有很多应用。为了帮助学生理解并应用此不等式，本文给出三种条件变形的此不等式的简洁证明，并给出了应用例子。
关键词：Gronwall不等式；Lipschitz条件；BellmanGronwall不等式
一、 背景介绍
Gronwall不等式是英国数学家Gronwall于1919年提出的，Bellman进行了推广，之后很多学者对此不等式进行研究。其各种形式的推广，丰富了不等式内容。Gronwall不等式在控制理论、常微分方程和积分方程性质等领域有很多应用。此不等式的證明极少见诸教材，而有些虽有证明，却相当粗糙、不严密。为了帮助学生理解Gronwall不等式，提高教学效果，本文将给出理论证明及应用例子。
二、 定理1（Gronwall不等式）
设a是非负常数，u（·）和v（·）都是区间[t0，T]上的连续且非负函数，若有以下不等式成立u（t）≤a ∫tt0v（s）u（s）ds，t∈[t0，T]，
则u（t）≤aexp∫tt0v（s）ds，t∈[t0，T]。 （1）
证明：先令a>0，w（t）=a ∫tt0v（s）u（s）ds，t≥t0，
则w（t）>0，w（t）≥u（t），w′（t）=v（t）u（t）≤w（t）v（t），
w′（t）w（t）≤v（t）， （2）
不等式两边积分得，则w（t）≤aexp∫tt0v（s）dsu（t）≤w（t）≤aexp∫tt0v（s）ds。
若a=0，可用ε>0代替a，则有不等式u（t）≤εexp∫tt0v（s）ds成立，于是我们可得u（t）≤0，（1）亦成立。证毕。
若定理1中的条件范围扩大，a为常数，u（·）和v（·）的取值区间改为[t0， ∞），u（·）非负这个条件也去掉，上述定理1是否仍成立？我们有以下定理2。由于条件的改变，定理1中证明过程中的（2）式不成立，上述证明方法不再适用，下面给出另一种证法。
三、 定理2（Gronwall不等式）
设a是常数，u（·）和v（·）都是区间[t0， ∞）上的实函数，v（t）≥0，且满足不等式u（t）≤a ∫tt0v（s）u（s）ds，则以下不等式成立u（t）≤aexp∫tt0v（s）ds，t∈[t0，T]。
证明：令w（t）=a ∫tt0v（s）u（s）ds，t≥t0，
上式两边对t求导得dw（t）dt=v（t）u（t）≤v（t）w（t），t≥t0，
则d[e-∫tt0v（s）dsw（t）]dt=e-∫tt0v（s）dsdw（t）dt-v（t）w（t）≤0。
两边从t0到t积分，并利用分部积分公式可得e-∫tt0v（s）dsw（t）-w（t0）≤0，
所以我们有u（t）≤w（t）≤ae∫tt0v（s）ds。证毕。
若定理1中的条件改变，常数a变为函数，v（·）变为非负常数，结论是否仍成立？由于条件的改变，定理1的证明方法亦不再适用，下面给出另一种证法。
四、 定理3（BellmanGronwall不等式）
设f（·）是区间[a，b]上的非负可积函数，β为非负常数，且满足不等式f（t）≤g（t） β∫taf（s）ds，t∈[a，b]，则以下不等式成立f（t）≤g（t） β∫tag（s）eβ（t-s）ds。
特别地，当g（t）=C（C为常数），则f（t）≤Ceβ（t-a）。
证明：令z（t）=β∫taf（s）ds，则有z′（t）=βf（t）≤βg（t） βz（t），整理得z′（t）-βz（t）≤βg（t），
则ddt[e-βtz（t）]=e-βt（z′（t）-βz（t））≤βg（t）e-βt，
不等式两边在区间[a，t]积分得e-βtz（t）≤β∫tag（s）e-βsds，
所以z（t）≤β∫tag（s）eβ（t-s）ds，
故f（t）≤g（t） β∫tag（s）eβ（t-s）ds。证毕。
五、 Gronwall不等式的应用
例（方程解的唯一性） 设α（t），ψ（t）是积分方程y=y0 ∫xx0f（x，y）dx，x0≤x≤x0 h上的连续解，其中 f（x，y）满足Lipschitz条件，L>0是Lipschitz常数，则α（t）=ψ（t）。
证明：由题意设α（t），ψ（t）是方程的连续解，
∴ψ（t）-α（t）=∫tt0f（ξ，ψ（ξ））dξ-∫tt0f（ξ，α（ξ））dξ，
则|ψ（t）-α（t）|≤∫tt0|f（ξ，ψ（ξ））-f（ξ，α（ξ））|dξ≤L∫tt0ψ（t）-α（t），
由Gronwall不等式，∴|ψ（ξ）-α（ζ）|≤0exp∫tt0Ldζ=0，
∴α（t）=ψ（t），命题得证。
六、 结束语
Gronwall不等式在控制论及方程理论中应用很多，特别是能够简化方程解的唯一性证明。利用该定理证明各类方程解的唯一性，思路清晰，学生易于理解，过程也比较简单。
参考文献：
[1]Gronwall T H. Note on the derivatives with respect to a parameter of the solution sofa system of differential equations[J]. Ann Math，1919（20）：292-296.
[2]Bellman R. The stability of solution of linear differential equations[J]. Duke Math J，1943（10）：643-647.
[3]Xuerong Mao. Stochastic Differential Equations and Applications（Second Edition）[M]. Horwood Publishing Limited，2007.
[4]孙莉.关于Gronwall不等式证明的注记[J].高等数学研究，2007，10（1）：69-71.
[5]李杰民.关于随机Gronwall不等式的一点注记[N].湛江师范学院学报，2013，34（6）：19-21.
[6]许佳，钟守铭.Gronwall不等式的推广及其在分数阶微分方程中的应用[N].西华大学学报（自然科学版），2012，31（5）：62-64.
作者简介：
章毛峰，中教一级，安徽省六安市，安徽省六安市金安区兴隆路清水河学校。
关键词：Gronwall不等式；Lipschitz条件；BellmanGronwall不等式
一、 背景介绍
Gronwall不等式是英国数学家Gronwall于1919年提出的，Bellman进行了推广，之后很多学者对此不等式进行研究。其各种形式的推广，丰富了不等式内容。Gronwall不等式在控制理论、常微分方程和积分方程性质等领域有很多应用。此不等式的證明极少见诸教材，而有些虽有证明，却相当粗糙、不严密。为了帮助学生理解Gronwall不等式，提高教学效果，本文将给出理论证明及应用例子。
二、 定理1（Gronwall不等式）
设a是非负常数，u（·）和v（·）都是区间[t0，T]上的连续且非负函数，若有以下不等式成立u（t）≤a ∫tt0v（s）u（s）ds，t∈[t0，T]，
则u（t）≤aexp∫tt0v（s）ds，t∈[t0，T]。 （1）
证明：先令a>0，w（t）=a ∫tt0v（s）u（s）ds，t≥t0，
则w（t）>0，w（t）≥u（t），w′（t）=v（t）u（t）≤w（t）v（t），
w′（t）w（t）≤v（t）， （2）
不等式两边积分得，则w（t）≤aexp∫tt0v（s）dsu（t）≤w（t）≤aexp∫tt0v（s）ds。
若a=0，可用ε>0代替a，则有不等式u（t）≤εexp∫tt0v（s）ds成立，于是我们可得u（t）≤0，（1）亦成立。证毕。
若定理1中的条件范围扩大，a为常数，u（·）和v（·）的取值区间改为[t0， ∞），u（·）非负这个条件也去掉，上述定理1是否仍成立？我们有以下定理2。由于条件的改变，定理1中证明过程中的（2）式不成立，上述证明方法不再适用，下面给出另一种证法。
三、 定理2（Gronwall不等式）
设a是常数，u（·）和v（·）都是区间[t0， ∞）上的实函数，v（t）≥0，且满足不等式u（t）≤a ∫tt0v（s）u（s）ds，则以下不等式成立u（t）≤aexp∫tt0v（s）ds，t∈[t0，T]。
证明：令w（t）=a ∫tt0v（s）u（s）ds，t≥t0，
上式两边对t求导得dw（t）dt=v（t）u（t）≤v（t）w（t），t≥t0，
则d[e-∫tt0v（s）dsw（t）]dt=e-∫tt0v（s）dsdw（t）dt-v（t）w（t）≤0。
两边从t0到t积分，并利用分部积分公式可得e-∫tt0v（s）dsw（t）-w（t0）≤0，
所以我们有u（t）≤w（t）≤ae∫tt0v（s）ds。证毕。
若定理1中的条件改变，常数a变为函数，v（·）变为非负常数，结论是否仍成立？由于条件的改变，定理1的证明方法亦不再适用，下面给出另一种证法。
四、 定理3（BellmanGronwall不等式）
设f（·）是区间[a，b]上的非负可积函数，β为非负常数，且满足不等式f（t）≤g（t） β∫taf（s）ds，t∈[a，b]，则以下不等式成立f（t）≤g（t） β∫tag（s）eβ（t-s）ds。
特别地，当g（t）=C（C为常数），则f（t）≤Ceβ（t-a）。
证明：令z（t）=β∫taf（s）ds，则有z′（t）=βf（t）≤βg（t） βz（t），整理得z′（t）-βz（t）≤βg（t），
则ddt[e-βtz（t）]=e-βt（z′（t）-βz（t））≤βg（t）e-βt，
不等式两边在区间[a，t]积分得e-βtz（t）≤β∫tag（s）e-βsds，
所以z（t）≤β∫tag（s）eβ（t-s）ds，
故f（t）≤g（t） β∫tag（s）eβ（t-s）ds。证毕。
五、 Gronwall不等式的应用
例（方程解的唯一性） 设α（t），ψ（t）是积分方程y=y0 ∫xx0f（x，y）dx，x0≤x≤x0 h上的连续解，其中 f（x，y）满足Lipschitz条件，L>0是Lipschitz常数，则α（t）=ψ（t）。
证明：由题意设α（t），ψ（t）是方程的连续解，
∴ψ（t）-α（t）=∫tt0f（ξ，ψ（ξ））dξ-∫tt0f（ξ，α（ξ））dξ，
则|ψ（t）-α（t）|≤∫tt0|f（ξ，ψ（ξ））-f（ξ，α（ξ））|dξ≤L∫tt0ψ（t）-α（t），
由Gronwall不等式，∴|ψ（ξ）-α（ζ）|≤0exp∫tt0Ldζ=0，
∴α（t）=ψ（t），命题得证。
六、 结束语
Gronwall不等式在控制论及方程理论中应用很多，特别是能够简化方程解的唯一性证明。利用该定理证明各类方程解的唯一性，思路清晰，学生易于理解，过程也比较简单。
参考文献：
[1]Gronwall T H. Note on the derivatives with respect to a parameter of the solution sofa system of differential equations[J]. Ann Math，1919（20）：292-296.
[2]Bellman R. The stability of solution of linear differential equations[J]. Duke Math J，1943（10）：643-647.
[3]Xuerong Mao. Stochastic Differential Equations and Applications（Second Edition）[M]. Horwood Publishing Limited，2007.
[4]孙莉.关于Gronwall不等式证明的注记[J].高等数学研究，2007，10（1）：69-71.
[5]李杰民.关于随机Gronwall不等式的一点注记[N].湛江师范学院学报，2013，34（6）：19-21.
[6]许佳，钟守铭.Gronwall不等式的推广及其在分数阶微分方程中的应用[N].西华大学学报（自然科学版），2012，31（5）：62-64.
作者简介：
章毛峰，中教一级，安徽省六安市，安徽省六安市金安区兴隆路清水河学校。