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【摘 要】合情推理是小学生数学思考的重要能力，合情推理对于学生积累基本数学活动经验、培养基本数学思想有重要作用。以《鸽巢问题》的学历案为例，发展学生的合情推理能力可以通过恰当的问题设计、活动设计和学习方式设计展开研究，从而提出情境问题化、问题数学化、数学符号化三条具体的策略。
【关键词】数学活动 数学思想 合情推理 学历案
一、问题提出的背景
作为重要数学思想方法的推理，既有用于猜想发现的合情推理，又有用于严格证明的演绎推理。美国著名数学家莫里斯·克莱因 （Morris Kline）说过，推理的方法是数学最显著的特征1。另一位美籍数学家波利亚（George Polya）则十分强调合情推理的重要性，他认为演绎推理可用于肯定数学知识，而合情推理可以为猜想提供依据，并倡导在数学教学中必须有猜想的地位，因为数学的学习过程应该反映数学的发明过程2。
我国《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）指出，“合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果……在解决问题的过程中……合情推理用于探索思路，发现结论。”3《课标》相较2003版课标，更加注重过程中的教育，鼓励学生通过经历丰富的数学活动，进而感悟数学思想。4
“学历案”即学习经历的方案，核心是学生学习“经历”的设计，包括核心问题设计、有效活动设计和学习方式设计，强调“做”中学和“教”中学。学历案旨在解决课堂教学中存在的“虚假学习”“游离学习”的问题，实现在课堂情境中最大化的“在学习”“真学习”。5学历案的这种特点，非常契合《课标》的“经历数学活动感悟数学思想”的目标。
二、 《鸽巢问题》的教材分析
《鸽巢问题》是人民教育出版社2013年版六年级下册《数学广角》的内容，数学广角是数学教育中渗透数学思想的重要阵地。但是，实际教学中，“数学广角”存在一个突出问题，即过于关注解决问题的方法，而数学思想的渗透不够。6
《鸽巢问题》中蕴含的“抽屉原理”（也叫“鸽巢原理”）是组合数学中的一个重要原理，它在几何、近世代数、高等代数、初等数论、离散数学中有广泛的应用。“抽屉原理”常见形式有第一抽屉原理和第二抽屉原理；教材内容属于第一抽屉原理，教材第一节内容是第一抽屉原理的原理1，即“把多于n 1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件”；教材第二节内容是第一抽屉原理的原理2，即“把多于mn（m×n） 1（n不为0）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于（m 1）的物体”；教材第三节内容是简单构造抽屉的方法。
分析教材不难发现，《鸽巢问题》从小学生身边的生活事实出发，凭借学生的经验和直觉，通过归纳、类比等方法推断出“抽屉原理”，这种发现问题、解决问题的数学思想正是《课标》所讲的合情推理。
三、 《鸽巢问题》学历案介绍
基于《鸽巢问题》的教材分析和授课小学的学情调研，设计以下学历案。
（一）学习目标
《鸽巢问题》中的抽屉原理是公务员考试、數学竞赛中的“熟面孔”，其重要性不言而喻。那么，小学课堂应该让学生学会什么内容？让学生达到什么程度的“终点”？
按照美国教育心理学家加涅学习结果类型划分理论，1“抽屉原理”属于“智慧技能”中的规则学习，规则学习强调将陈述性知识转化成学习者的办事规则，即：将陈述性知识转化为程序性知识，使学习者经历“怎么做”的活动过程，进而理解“是什么”。2基于此，《鸽巢问题》的学习重点是经历“抽屉原理”的发现过程，理解抽屉原理的算理和本质。通过学情调查，了解到授课班级有2～3人接触过抽屉原因；结合教材分析，将教材第一、二两节合并为一个课时，确定如下学习目标。
知识与技能：理解枚举法、平均分法的应用过程；了解至少数的算理和计算方法；理解并能准确说出抽屉原理的内容；会用抽屉原理解决简单的实际问题。
过程与方法：通过观察、类比，发现、归纳，从现实情境中发现问题，运用不同的解决方案解决问题，并总结出抽屉原理的内容，提高合情推理的能力。
情感态度与价值观：通过“抽屉原理”的学习和应用，培养“留心观察、细心思考”的数学学习习惯，提高解决数学问题的兴趣和信心，感受数学的魅力。
（二）学习过程
布鲁纳认知理论认为，学科内容按照“行为表征、图像表征、符号表征”的发展顺序进行学习，是最优的发展轨迹。为此，学习过程设计如下。
1.游戏导入
兴趣是学习者学习的内生力量。如何既能激发学生兴趣，又能突出学生主体，并照顾到全体学生？教材以5个学生抽扑克牌为例，这种方法突出趣味性，但要照顾全体学生，实施成本过高。有的老师以抢凳子游戏导入，存在一定安全隐患。
为此，学历案设计了“石头、剪刀、布”的游戏，4人一组，老师宣布开始后，全班学生同时出手势，之后老师说出并板书“不管哪一组，总有一种手势至少有2个人出”。3随后，学生再出3～4次，以验证老师的说法。学生在玩游戏时，好奇于老师的结论并有所质疑，老师借机引出游戏背后蕴含的“抽屉原理”。
本环节在激发学生学习兴趣的同时，创设了关于抽屉原理的“行为表征”的情境，提出了待解决的核心问题：为什么“不管……总有……至少……”？
2.合作探究
考虑到学习的效率、直观性、趣味性，课堂学习中以磁扣和圆圈为工具进行活动设计。本环节的核心问题为“将4个磁扣放进3个圆圈内，一共有几种摆放方法？”该问题本质是“石头、剪刀、布”游戏的变式，它将行为问题变式为数学语言形式的问题。
针对该问题，要求学生按小组合作学习，不限制学生解决问题的方法。预设的解决方法有枚举法（包括画图法和算式法）、平均分法，另外考虑到有个别学生参加过课外辅导班，增加反证法和公式法。 本环节通过小组合作学习和结果展示，将数学语言问题用“图像表征”形式进行解决，其中，画图枚举法、平均分法、反证法都属于“图像表征”的方法，算式枚举法和公式法属于简单的“符号表征”方法。同时，不同的解决问题的方法开阔了学生的思路。
3.举一反三：用“符号表征”总结规律
围绕上一环节的问题模式，本环节通过举一反三的方法设计问题和学习活动。一是“磁扣数量和圆圈数量同时加1个”（这种情况是第一抽屉原理的原理1）；二是“增加磁扣数量，圆圈数量不变”；三是“增加圆圈数量，磁扣数量不变”（二和三是第一抽屉原理的原理2）。
设计和开展这种“变化”的活动，目的是使学生不断经历观察、质疑、猜想、验证、类比、归纳的过程，最终能够用“符号表征”准确表达抽屉原理的“至少数公式”。
（三）评价任务
本学历案微课教学中，有老师提出“抽屉原理虽然很重要，但有什么实际价值”的问题，《课标》提出“数学是日常生活中的数学”的理念，为此，设计如下课堂检测性作业。
1.13个人中至少有2个人是同一个月生日，为什么？
2.现在非常流行用星座测性格，用星座测运势，你们信吗？为什么？全国13亿人中，至少有多少人是同一星座？
第一道题结合学生自身情况现身说法，很有亲切感，其中的数字数量级较小便于计算和验证。第二道题是小学生比较感兴趣的话题，用抽屉原理解决该问题可以发现有很多人是同一星座，他们的“性格和运势是一样的”显然不合理。因此，星座测性格和运势是不科学的。
通过课堂的评价，不仅检验了学生的学习效果，同时将“抽屉原理”回歸生活应用，提高了学生学习数学的兴趣。
（四）反思
《鸽巢问题》学历案经过一次微课模拟授课和两次小学实际授课。通过授课发现存在一些问题，出现于将教材的一、二小节合并为一个课时进行授课时。本学历案之所以这么设计，是因为在授课小学的学情调研中发现，约10%的学生参加课外辅导班时接触过相关知识；合并授课可以让课堂学习更加紧凑，但不利于学生的认知和接受，这种合并授课的学历案设计并不通用。
四、发展合情推理的策略
通过《鸽巢问题》学历案教学与反思，笔者认为学历案教学模式与发展学生合情推理的路径不谋而合，同时，发展合情推理可遵循一定的策略。
第一步，情境问题化。即通过学历案活动设计创设一定的情境，这种情境应遵循趣味性、与教学的相关性、操作的便利性原则；在真实的情境中，或预设生成学习的核心问题。
第二步，问题数学化。即将第一步的情境问题通过“关联、迁移、类比”等方法，变式为真正的数学问题，将研究锁定在数学内部。
第三步，数学符号化。 即凭借经验和直觉，将数学问题通过“行为表征→图像表征→符号表征”的三次表征、两次抽象，经历归纳和类比等过程，运用数学符号推断出结果并解决问题。
发展学生的合情推理能力，不局限于上述固定的策略与步骤，由于实际教学的多样性，我们应因地制宜、灵活运用。
（北京联合大学师范学院 100011）
【关键词】数学活动 数学思想 合情推理 学历案
一、问题提出的背景
作为重要数学思想方法的推理，既有用于猜想发现的合情推理，又有用于严格证明的演绎推理。美国著名数学家莫里斯·克莱因 （Morris Kline）说过，推理的方法是数学最显著的特征1。另一位美籍数学家波利亚（George Polya）则十分强调合情推理的重要性，他认为演绎推理可用于肯定数学知识，而合情推理可以为猜想提供依据，并倡导在数学教学中必须有猜想的地位，因为数学的学习过程应该反映数学的发明过程2。
我国《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）指出，“合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果……在解决问题的过程中……合情推理用于探索思路，发现结论。”3《课标》相较2003版课标，更加注重过程中的教育，鼓励学生通过经历丰富的数学活动，进而感悟数学思想。4
“学历案”即学习经历的方案，核心是学生学习“经历”的设计，包括核心问题设计、有效活动设计和学习方式设计，强调“做”中学和“教”中学。学历案旨在解决课堂教学中存在的“虚假学习”“游离学习”的问题，实现在课堂情境中最大化的“在学习”“真学习”。5学历案的这种特点，非常契合《课标》的“经历数学活动感悟数学思想”的目标。
二、 《鸽巢问题》的教材分析
《鸽巢问题》是人民教育出版社2013年版六年级下册《数学广角》的内容，数学广角是数学教育中渗透数学思想的重要阵地。但是，实际教学中，“数学广角”存在一个突出问题，即过于关注解决问题的方法，而数学思想的渗透不够。6
《鸽巢问题》中蕴含的“抽屉原理”（也叫“鸽巢原理”）是组合数学中的一个重要原理，它在几何、近世代数、高等代数、初等数论、离散数学中有广泛的应用。“抽屉原理”常见形式有第一抽屉原理和第二抽屉原理；教材内容属于第一抽屉原理，教材第一节内容是第一抽屉原理的原理1，即“把多于n 1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件”；教材第二节内容是第一抽屉原理的原理2，即“把多于mn（m×n） 1（n不为0）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于（m 1）的物体”；教材第三节内容是简单构造抽屉的方法。
分析教材不难发现，《鸽巢问题》从小学生身边的生活事实出发，凭借学生的经验和直觉，通过归纳、类比等方法推断出“抽屉原理”，这种发现问题、解决问题的数学思想正是《课标》所讲的合情推理。
三、 《鸽巢问题》学历案介绍
基于《鸽巢问题》的教材分析和授课小学的学情调研，设计以下学历案。
（一）学习目标
《鸽巢问题》中的抽屉原理是公务员考试、數学竞赛中的“熟面孔”，其重要性不言而喻。那么，小学课堂应该让学生学会什么内容？让学生达到什么程度的“终点”？
按照美国教育心理学家加涅学习结果类型划分理论，1“抽屉原理”属于“智慧技能”中的规则学习，规则学习强调将陈述性知识转化成学习者的办事规则，即：将陈述性知识转化为程序性知识，使学习者经历“怎么做”的活动过程，进而理解“是什么”。2基于此，《鸽巢问题》的学习重点是经历“抽屉原理”的发现过程，理解抽屉原理的算理和本质。通过学情调查，了解到授课班级有2～3人接触过抽屉原因；结合教材分析，将教材第一、二两节合并为一个课时，确定如下学习目标。
知识与技能：理解枚举法、平均分法的应用过程；了解至少数的算理和计算方法；理解并能准确说出抽屉原理的内容；会用抽屉原理解决简单的实际问题。
过程与方法：通过观察、类比，发现、归纳，从现实情境中发现问题，运用不同的解决方案解决问题，并总结出抽屉原理的内容，提高合情推理的能力。
情感态度与价值观：通过“抽屉原理”的学习和应用，培养“留心观察、细心思考”的数学学习习惯，提高解决数学问题的兴趣和信心，感受数学的魅力。
（二）学习过程
布鲁纳认知理论认为，学科内容按照“行为表征、图像表征、符号表征”的发展顺序进行学习，是最优的发展轨迹。为此，学习过程设计如下。
1.游戏导入
兴趣是学习者学习的内生力量。如何既能激发学生兴趣，又能突出学生主体，并照顾到全体学生？教材以5个学生抽扑克牌为例，这种方法突出趣味性，但要照顾全体学生，实施成本过高。有的老师以抢凳子游戏导入，存在一定安全隐患。
为此，学历案设计了“石头、剪刀、布”的游戏，4人一组，老师宣布开始后，全班学生同时出手势，之后老师说出并板书“不管哪一组，总有一种手势至少有2个人出”。3随后，学生再出3～4次，以验证老师的说法。学生在玩游戏时，好奇于老师的结论并有所质疑，老师借机引出游戏背后蕴含的“抽屉原理”。
本环节在激发学生学习兴趣的同时，创设了关于抽屉原理的“行为表征”的情境，提出了待解决的核心问题：为什么“不管……总有……至少……”？
2.合作探究
考虑到学习的效率、直观性、趣味性，课堂学习中以磁扣和圆圈为工具进行活动设计。本环节的核心问题为“将4个磁扣放进3个圆圈内，一共有几种摆放方法？”该问题本质是“石头、剪刀、布”游戏的变式，它将行为问题变式为数学语言形式的问题。
针对该问题，要求学生按小组合作学习，不限制学生解决问题的方法。预设的解决方法有枚举法（包括画图法和算式法）、平均分法，另外考虑到有个别学生参加过课外辅导班，增加反证法和公式法。 本环节通过小组合作学习和结果展示，将数学语言问题用“图像表征”形式进行解决，其中，画图枚举法、平均分法、反证法都属于“图像表征”的方法，算式枚举法和公式法属于简单的“符号表征”方法。同时，不同的解决问题的方法开阔了学生的思路。
3.举一反三：用“符号表征”总结规律
围绕上一环节的问题模式，本环节通过举一反三的方法设计问题和学习活动。一是“磁扣数量和圆圈数量同时加1个”（这种情况是第一抽屉原理的原理1）；二是“增加磁扣数量，圆圈数量不变”；三是“增加圆圈数量，磁扣数量不变”（二和三是第一抽屉原理的原理2）。
设计和开展这种“变化”的活动，目的是使学生不断经历观察、质疑、猜想、验证、类比、归纳的过程，最终能够用“符号表征”准确表达抽屉原理的“至少数公式”。
（三）评价任务
本学历案微课教学中，有老师提出“抽屉原理虽然很重要，但有什么实际价值”的问题，《课标》提出“数学是日常生活中的数学”的理念，为此，设计如下课堂检测性作业。
1.13个人中至少有2个人是同一个月生日，为什么？
2.现在非常流行用星座测性格，用星座测运势，你们信吗？为什么？全国13亿人中，至少有多少人是同一星座？
第一道题结合学生自身情况现身说法，很有亲切感，其中的数字数量级较小便于计算和验证。第二道题是小学生比较感兴趣的话题，用抽屉原理解决该问题可以发现有很多人是同一星座，他们的“性格和运势是一样的”显然不合理。因此，星座测性格和运势是不科学的。
通过课堂的评价，不仅检验了学生的学习效果，同时将“抽屉原理”回歸生活应用，提高了学生学习数学的兴趣。
（四）反思
《鸽巢问题》学历案经过一次微课模拟授课和两次小学实际授课。通过授课发现存在一些问题，出现于将教材的一、二小节合并为一个课时进行授课时。本学历案之所以这么设计，是因为在授课小学的学情调研中发现，约10%的学生参加课外辅导班时接触过相关知识；合并授课可以让课堂学习更加紧凑，但不利于学生的认知和接受，这种合并授课的学历案设计并不通用。
四、发展合情推理的策略
通过《鸽巢问题》学历案教学与反思，笔者认为学历案教学模式与发展学生合情推理的路径不谋而合，同时，发展合情推理可遵循一定的策略。
第一步，情境问题化。即通过学历案活动设计创设一定的情境，这种情境应遵循趣味性、与教学的相关性、操作的便利性原则；在真实的情境中，或预设生成学习的核心问题。
第二步，问题数学化。即将第一步的情境问题通过“关联、迁移、类比”等方法，变式为真正的数学问题，将研究锁定在数学内部。
第三步，数学符号化。 即凭借经验和直觉，将数学问题通过“行为表征→图像表征→符号表征”的三次表征、两次抽象，经历归纳和类比等过程，运用数学符号推断出结果并解决问题。
发展学生的合情推理能力，不局限于上述固定的策略与步骤，由于实际教学的多样性，我们应因地制宜、灵活运用。
（北京联合大学师范学院 100011）