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学习随机事件的概率时，有些同学对概率的概念、性质、事件间的关系等理解不清，不能准确理解其概念的实质和内涵，从而出现这样或那样的错误。现举例分析如下，帮助大家走出随机事件的概率的“包围圈”，以期达到亡羊补牢或未雨绸缪之目的。
一、对不可能事件、不确定事件理解不透
例1 下列事件中，哪些是确定事件，哪些是不确定事件？
（1）纸放到火上不燃烧；
（2）明天太阳从西边升起；
（3）通常情况下，水在零摄氏度以下时会结冰；
（4）打开电视，正在播广告。
错解 确定事件：（3）；不确定事件：（1）（2）（4）。
分析错解中把不可能事件判断为不确定事件。不可能事件是指该事件一定不会发生，题中（1）（2）两事件都属于不可能事件，是确定事件。不确定事件是指事件有可能发生，也有可能不发生，题中（4）的事件就是不确定事件。因此在解答此题时一定要弄清楚“不可能”与“不确定”的区别。
正解确定事件：（1）（2）（3）；不确定事件（4）。
反思 不可能事件是指事先能肯定一定不会发生的事件，不可能事件既然事先就能肯定不会发生，就应属于确定事件。
二、对频率与概率区分不清
例2 下面的说法是否正确？为什么？
（1）为了考察掷出“6”的概率有多大，明明掷了500次骰子，其中“6”点向上的有150次，所以掷出“6”的概率大约为0.3。
（2）某彩票的中奖概率是0.03，所以买100张一定会有3张中奖。
错解 （1）正确。因为掷500次骰子，“6”点向上的有150次，所以掷出“6”的概率约为0.3。
（2）正确。因为彩票的中奖概率是0.03，所以买100张一定有3张中奖。
分析错解（1）中没有真正理解频率与概率的关系，认为在任何情况下实验中的频率都约等于概率。事实上，只有当频率值逐渐稳定时，才能用这个频率值估计概率。错解（2）中认为概率是一定的，事件就是必然的。实际上（2）中的事件是不确定事件。因此，解答此类问题时，一定要准确理解概率的定义，认真地区分频率与概率之间的不同。
正解 （1）错误。因为通过实验估计概率的大小，只有当频率值逐渐稳定时，才能用这个频率值估计该事件发生概率的大小。实际上，出现“6”的概率≈0.167。
（2）错误。因为买100张彩票有3张中奖是随机事件，不是必然事件。
反思虽然不确定事件的发生是随机的、无法预测的，但是随着试验次数的增加。就会发现不确定事件的发生具有一定的规律。我们可以用平稳时的频率值，去估计这一事件在每次试验中所发生的概率。如果我们没有认识到这一点，将会判断失误。
三、凭想当然来预测事件发生机会的多少
例3 抛掷两枚硬币，看看“出现两个正面”和“出现一正一反”的机会各是多少？做试验验证一下你的猜测是否准确。
错解 一枚硬币，一个正面一个反面，因此，当抛掷两枚硬币时，不是两个正面，就是两个反面，要不然就是一正一反，所以，出现的机会各是1/3。
正解一枚硬币，一个正面一个反面，因此，当抛掷两枚硬币时，会出现四种情况：两个正面，两个反面，一正一反，一反一正，所以，出现两个正面和出现两个反面的机会是1/4，而出现一正一反的机会是1/2。
反思 准确理解随机试验的条件、结果等有关定义，并会用其表示一些事件。在得出试验结果时，一般都采用列举法写出，通常按从左向右、由小到大的顺序来写，注意要做到不重不漏。
四、不理解事件中每一种情况的发生是等可能的
例4 同时掷两枚骰子。问：
（1）“两点的和等于7”的事件与“两点的和等于8”的事件，哪一个发生的机会多？
（2）最容易出现的和的点数是多少？并求出它的概率。
错解 （1）因为每次掷骰子的可能结果有6种，所以“两点的和等于7”的事件与“两点的和等于8”的事件，发生的机会相同。
（2）出现的各种点数和的概率相同，概率为6/36=1/6。
分析错误地将掷一枚骰子出现的6种结果与掷两枚骰子出现两点和的事件当做一回事处理。
正解设掷两枚骰子，一枚出现x点，另一枚出现y点，如下表：
（1）从表中可得出：“两点的和等于7”的事件有6个，“两点的和等于8”的事件有5个，所以前者比后者容易发生。
（2）从表中比较得，最容易出现的和是7，它的概率是6/36=1/6。
反思
在一次试验中出现的随机事件是否等可能的关键是：看这一试验中所有可能出现的结果中各种结果出现的机会是否均等。虽然都是随机现象，但发生的概率是不一样的。如该题中出现7点的概率就最大，还可以计算出现2点和12点的概率最小，都是1/36。
五、未弄清互斥事件与对立事件的关系
例5 判断下列命题的真假：（1）将一枚硬币抛掷两次，设事件A：“两次都出现正面”，事件B：“两次都出现反面”，则事件A与B是对立事件。（2）在5件产品中有2件是次品，从中任取2件。事件A：“所取2件中最多有1件是次品”，事件B：“所取2件中至少有1件是次品”，则事件A与B是互斥事件。（3）若事件A与B是互斥事件，则JP（A+B）=P（A）+P（B）。
错解命题（1）（2）（3）都是真命题。
分析（1）概念不清，未区分互斥事件与对立事件。因为事件A与B是对立事件还要满足AUB是必然事件，显然这是错误的；（2）未弄清“最多”“至少”的意义，因为它们都包括“所取2件中有1件是次品”，当然事件A与B就不是互斥事件了；（3）概率的加法公式，当然是正确的。
正解 （1）是假命题；（2）是假命题；（3）是真命题。
反思两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生一个，但可以都不发生；而两事件对立则表明它们有且只有一个发生。
一、对不可能事件、不确定事件理解不透
例1 下列事件中，哪些是确定事件，哪些是不确定事件？
（1）纸放到火上不燃烧；
（2）明天太阳从西边升起；
（3）通常情况下，水在零摄氏度以下时会结冰；
（4）打开电视，正在播广告。
错解 确定事件：（3）；不确定事件：（1）（2）（4）。
分析错解中把不可能事件判断为不确定事件。不可能事件是指该事件一定不会发生，题中（1）（2）两事件都属于不可能事件，是确定事件。不确定事件是指事件有可能发生，也有可能不发生，题中（4）的事件就是不确定事件。因此在解答此题时一定要弄清楚“不可能”与“不确定”的区别。
正解确定事件：（1）（2）（3）；不确定事件（4）。
反思 不可能事件是指事先能肯定一定不会发生的事件，不可能事件既然事先就能肯定不会发生，就应属于确定事件。
二、对频率与概率区分不清
例2 下面的说法是否正确？为什么？
（1）为了考察掷出“6”的概率有多大，明明掷了500次骰子，其中“6”点向上的有150次，所以掷出“6”的概率大约为0.3。
（2）某彩票的中奖概率是0.03，所以买100张一定会有3张中奖。
错解 （1）正确。因为掷500次骰子，“6”点向上的有150次，所以掷出“6”的概率约为0.3。
（2）正确。因为彩票的中奖概率是0.03，所以买100张一定有3张中奖。
分析错解（1）中没有真正理解频率与概率的关系，认为在任何情况下实验中的频率都约等于概率。事实上，只有当频率值逐渐稳定时，才能用这个频率值估计概率。错解（2）中认为概率是一定的，事件就是必然的。实际上（2）中的事件是不确定事件。因此，解答此类问题时，一定要准确理解概率的定义，认真地区分频率与概率之间的不同。
正解 （1）错误。因为通过实验估计概率的大小，只有当频率值逐渐稳定时，才能用这个频率值估计该事件发生概率的大小。实际上，出现“6”的概率≈0.167。
（2）错误。因为买100张彩票有3张中奖是随机事件，不是必然事件。
反思虽然不确定事件的发生是随机的、无法预测的，但是随着试验次数的增加。就会发现不确定事件的发生具有一定的规律。我们可以用平稳时的频率值，去估计这一事件在每次试验中所发生的概率。如果我们没有认识到这一点，将会判断失误。
三、凭想当然来预测事件发生机会的多少
例3 抛掷两枚硬币，看看“出现两个正面”和“出现一正一反”的机会各是多少？做试验验证一下你的猜测是否准确。
错解 一枚硬币，一个正面一个反面，因此，当抛掷两枚硬币时，不是两个正面，就是两个反面，要不然就是一正一反，所以，出现的机会各是1/3。
正解一枚硬币，一个正面一个反面，因此，当抛掷两枚硬币时，会出现四种情况：两个正面，两个反面，一正一反，一反一正，所以，出现两个正面和出现两个反面的机会是1/4，而出现一正一反的机会是1/2。
反思 准确理解随机试验的条件、结果等有关定义，并会用其表示一些事件。在得出试验结果时，一般都采用列举法写出，通常按从左向右、由小到大的顺序来写，注意要做到不重不漏。
四、不理解事件中每一种情况的发生是等可能的
例4 同时掷两枚骰子。问：
（1）“两点的和等于7”的事件与“两点的和等于8”的事件，哪一个发生的机会多？
（2）最容易出现的和的点数是多少？并求出它的概率。
错解 （1）因为每次掷骰子的可能结果有6种，所以“两点的和等于7”的事件与“两点的和等于8”的事件，发生的机会相同。
（2）出现的各种点数和的概率相同，概率为6/36=1/6。
分析错误地将掷一枚骰子出现的6种结果与掷两枚骰子出现两点和的事件当做一回事处理。
正解设掷两枚骰子，一枚出现x点，另一枚出现y点，如下表：
（1）从表中可得出：“两点的和等于7”的事件有6个，“两点的和等于8”的事件有5个，所以前者比后者容易发生。
（2）从表中比较得，最容易出现的和是7，它的概率是6/36=1/6。
反思
在一次试验中出现的随机事件是否等可能的关键是：看这一试验中所有可能出现的结果中各种结果出现的机会是否均等。虽然都是随机现象，但发生的概率是不一样的。如该题中出现7点的概率就最大，还可以计算出现2点和12点的概率最小，都是1/36。
五、未弄清互斥事件与对立事件的关系
例5 判断下列命题的真假：（1）将一枚硬币抛掷两次，设事件A：“两次都出现正面”，事件B：“两次都出现反面”，则事件A与B是对立事件。（2）在5件产品中有2件是次品，从中任取2件。事件A：“所取2件中最多有1件是次品”，事件B：“所取2件中至少有1件是次品”，则事件A与B是互斥事件。（3）若事件A与B是互斥事件，则JP（A+B）=P（A）+P（B）。
错解命题（1）（2）（3）都是真命题。
分析（1）概念不清，未区分互斥事件与对立事件。因为事件A与B是对立事件还要满足AUB是必然事件，显然这是错误的；（2）未弄清“最多”“至少”的意义，因为它们都包括“所取2件中有1件是次品”，当然事件A与B就不是互斥事件了；（3）概率的加法公式，当然是正确的。
正解 （1）是假命题；（2）是假命题；（3）是真命题。
反思两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生一个，但可以都不发生；而两事件对立则表明它们有且只有一个发生。