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与他人合作交流是时代发展的需要，更是每一名学生走上社会的必备能力. 作为一种重要的数学学习方式，“合作交流”在《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》和2011版《义务教育数学课程标准》中被多次提及. 小组交流是合作交流的一种最重要形式，能很好地弥补数学课堂中“自主探索”的不足，有力地推动“情感态度价值观”目标的达成. 基于小组交流对学生数学学习的影响，笔者就此进行了近两年的课堂观察. 本文将结合观察所得，就如何提升小组交流的效益，从三个“度”上谈谈自己的思考，以期得到同行专家的赐教.
一、宽度——“入口”宽阔，突破交流困境，确保交流普适有效
在新课标中，“学会与他人合作交流”是“问题解决”目标之一. 通过课堂上的小组交流，学生可以获取数学知识，形成基本数学技能，获得基本数学思想和活动经验. 由此可见，小组交流对每名学生都很重要. 然而，在笔者观察的众多课堂中，有些老师正如文[1]中所言，“只是向观课的同事展示自己拥有促进学生合作学习的先进理念”. 小组交流中，学生参与度不高，尤其是薄弱学生根本就没有机会发表自己的观点，成为了固定的“听众”和“看客”. 究其原因，交流材料的匮乏、交流“入口”“狭窄”是一个非常重要的原因. 笔者认为，要想提升小组交流的效益，教师就应该为学生提供丰富的交流话题，让每一名学生都有自己感兴趣的，而且可以发表见解的话题. 这样，全体同学才能主动积极地参与交流，让交流“普适”而且有效.
案例1
活动1：复习待定系数法及二次函数的性质.
自主解答下题，并按照题后的要求在小组内交流. 已知抛物线经过点（-2，0），（6，0），（2，3）三点.
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）画出这条抛物线，并尽可能多地写出由图象可以得出的结论，看看谁写得多.
小组交流：（1）抛物线的解析式的求法；（2）根据图象写出的结论.
【案例分析】 案例1的例题中，所给的三个点非常特殊，既有抛物线与x轴的交点，也有顶点. 因此，第（1）题的解题方法有三种.
解法一：将三个点代入y=ax2+bx+c得出一个三元一次方程组，再去解这个方程组求出a，b，c.
解法二：设这个函数解析式为y=a（x+2）（x-6），再将（2，3）代入求出a.
解法三：由于点（-2，0），（6，0）关于直线x=2对称，所以（2，3）就是这条抛物线的顶点. 于是设这条抛物线解析式为y=a（x-2）2+3，再从（-2，0），（6，0）两点中任选一点代入求出a的值.
第（2）题，先画图象，然后从图象、性质、特殊取值、增减性等角度归纳结论.
在活动方案中，提出了明确的交流任务. 解析式的不同求法和由图象得出的多种结论为学生的交流提供了众多的话题，确保了每一名学生在交流中都能发表自己的见解. 第（1）题，薄弱学生可以交流最基本的解法（解法一），其他同学不仅可以交流解法二、三，还能对三种解法进行比对，从而确定一种最便捷的方法；第（2）题，画图象和由图象写结论，“图象”就成为学生解题与交流的抓手，依托图象，每一名学生都能说出许多的结论来. 活动方案中，教者为学生的小组交流提供了宽阔的“入口”，每一名学生都成为了交流的主体，他们积极主动地参与，在交流中“提出各自的解决问题的策略”，通过组内思维的碰撞选择出合理的策略，“丰富了活动经验，提高了思维水平”.
二、梯度——分级分层，化解学习差异，促成人人学有所获
梯度，在这里意指“依照一定次序分出的层次”. 由于学生数学学习的状况各不相同，因此，教师在课前就应该为小组交流设置合理的梯度，对学生和交流的内容进行分层.
1. 学生分级，搭建平等对话平台
初中学生在数学学习上的差异，是无法回避的. 那么，在学生获得数学知识过程中，如何让这种差异尽可能少地产生影响呢？笔者认为，可以对学生进行分级，根据学生数学学习的状况，薄弱学生定为A级，中等学生定为B级，优等学生定为C级. 然后，让同级学生同组学习. 由于同级学生的数学认知水平差异不大，学生能在这样的小组内通过平等对话实现知识和能力上共同提升. 如此安排，每一位学生在自己的能级下，通过与同级同学的平等交流，解决自己所能够解决的问题，切实提高了小组交流的针对性和有效性.
2. 内容分层，实现人人学有所获
“不同的人在数学上得到不同的发展”，这是课标要求，也是小组交流应该遵循的原则. 有了学生的分级，交流的内容必然要分层，清晰的梯度保证了学生交流的“高度”. 内容的分层是对学生分级必要的补充，同级交流，让每名学生在自己能达到的高度上，获取知识，形成技能；异级交流，鼓励学生“跳一跳，摘到果”，促成知识和能力的更高提升.
案例2
活动1：学习线段中点的定义（略）.
活动2：“线段中点的定义”的应用.
自主解答本级例题，并在同级小组和异级小组中分别交流各自的思路.
A级例题：
如图1，若D是AB中点， E是BC中点，若AB=4，BC=6，求DE.
B级例题：
如图1，若D是AB中点， E是BC中点，若DC=8，EC=3，求AD.
C级例题：
如图1，若D是AB中点， E是BC中点，若AC=a，EB=b，求AD.
6分钟后，学生开始小组交流. 在同级小组中交流了4分钟后，又到异级小组中交流了3分钟.
【案例分析】 虽然问题的情境相同，但三级例题的梯度是明显的. A级例题仅涉及了本课所学的“线段中点的定义”；B级例题要比A级例题难一些，解答需要绕一点弯子，先根据中点定义求出线段BC=6，再利用线段之差求出AD；C级例题更难，不仅要用到线段中点定义，还涉及到了代数、整体、数形结合等思想. 为了确保初学几何的七年级学生“不掉队，不疲惫”，教者编排了这样三级例题. 通过自主解答和小组交流两个环节的实施，既保证了每一名学生的独立思考，又保证小组交流确有成效. 三级例题编排十分巧妙，不仅例题之间梯度清晰，而且三道题的情境相同，涉及数学知识也有重叠，学生不仅可以在同级中回顾所学知识，还能在异级交流中“释疑解惑”. 这样的分层分级交流，回避了学生数学认知能力的差异，促成每一名学生都学有所获. 三、准度——时机精准，把握关键时点，交流成效乘势而上
任何一次有意义、有成效的交流都应该是“恰到好处”的，其所起的作用通常是“雪中送炭”. 因此，对小组交流时机的把握就显得十分重要. 抓住教学的关键时点，让学生适时展开交流，往往能起到事半功倍的效果.
1. 新知形成过程中，交流促生成
小组交流的目的是为了学生更好地获得知识. 因此，要想是实现新知的“无痕生成”，我们就应该围绕教学目标精心预设小组交流活动. 通过有预设的小组交流，在生生互动过程中，为新知的自然生成铺平道路.
案例3
活动1：学习反比例函数的意义.
思考并在小组内交流：
下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？这些函数有什么共同特点？
（1）京沪线铁路全程为1463km，乘坐某次列车所用时间t（单位：h）随该列车平均速度v（单位：km/h）的变化而变化；
（2）某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长y（单位：m）随宽x（单位：m）的变化；
（3）已知北京市的总面积为1. 68×104平方千米，人均占有的土地面积S（单位：平方米/人）随全市总人口数n（单位：人）的变化而变化.
5分钟后，小组交流结束. 根据学生的回答，教师板书：t=■，y=■，S=■.
教师：这些式子有什么共同特点？
学生1：都是等式.
学生2：都是两个变量.
学生3：等号左边是一个单独的字母，右边都是分式的形式.
学生4：分式的分子都是常数.
教师：你能用一个式子来表示具有这种特点的式子吗？
学生5：y=■（k为常数，且k≠0）.（教师板书）
教师：很好，具有这种形式的函数我们就叫作用反比例函数. （板书课题：17. 1. 1反比例函数的意义）
【案例分析】 在案例3中，“反比例函数的意义”是本课的新知，其教学目标是“结合具体情境体会反比例函数的意义”. 在反比例函数概念形成的过程中，笔者安排了这样一次“小型”交流活动. 通过交流，小组内统一了答案，并总结了各个关系式的共同点，揭示了反比例函数的基本形式. 在接下来的师生对话中，反比例函数的概念自然“无痕”生成也就成为必然. 这样的小组交流处在教学的关键处，产生的教学效益是巨大的.
2. 思路探究困境处，交流点迷津
学生解答数学题时，难免会遇到困难. 在历经“独立思考”环节后，适时、适度的小组交流也是必须的. 此时的交流，往往能起到“一语惊醒梦中人”的妙用，为在“困境”中苦苦思索的同伴指明前行的道路.
案例4
活动2：回顾函数的图象及其性质，体验数形结合的思想方法.
自主解答下题，并在小组内交流各自的解题思路.
如图2，直线y=■x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D. 抛物线y=■x+bx+c与直线交于点A，E，与x轴交于点B，C，且B点坐标为（1，0）.
（1）直接写出该抛物线的解析式；
（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标.
自主解答. 10分钟后，学生小组交流开始. 通过小组交流，理清了第2小题的解题思路：先用分类讨论的数学思想对直角的顶点进行讨论，通过作过点A，E作AE的垂线得到P1 ，P2，再通过作以AE为直径的圆得到P3，P4（如图3）；最后，用方程的思想求出点的坐标.
【案例分析】 案例4中例题的第2问涉及到了数形结合、分类讨论等初中最重要的数学思想. 在学生解答过程中，很多人是没有清晰的解题思路的，尤其是图3中的P3，P4的确定更是解题的难点. 自主解答，只是让大多数学生通过独立思考理一理解题的思路，在接下来的交流中，在全组成员的思维的碰撞过程中，把小组中每一个人的思路集中到一起，互相取长补短，突破解题“困境”，得出准确的解题路径.
3. 纠偏纠错反思时，交流得正解
学生解题或思考中难免出错，出现错误，教者如何处置是关键. 笔者通常的做法是抓住错误不放，通过小组交流，让错误的“效益”放大，使每一位学生从中受益，最终获得解题的正确方法.
案例5
活动1：回顾解一元一次方程的一般步骤.
解方程：■-■=■-1.
一学生给出了如下解题过程：
解：
8x-4-20x-2=6x+3-1，
8x-20x-6x=3-1+4+2，
-18x=8，
x=-■.
针对学生的解答情况，教者安排一次小组交流. 具体交流要求如下：
（1）找出解题中的失误，并提出你们组的改正建议；
（2）怎样才能让这些错误减少？提出你们的“避错方案”.
经过10分钟的小组交流，各组不仅改正了解题过程中的错误，还提出了“细化解题步骤”、“代入检验”、“步步标记”等“避错方案”.
【案例分析】 纠偏纠错，不仅对出错者重要，对旁观者也很重要. 在案例5中，学生出现了错误，全体同学通过小组交流参与到了找错纠错中，放大了错误的作用，不仅让出错者及时发现错误，还让其他学生也从错误中收益. 我想，这样的交流无疑是有益的.
小组交流作为合作交流的一种非常有效的形式，受益的主体是学生. 在这过程中，教师就是“幕后推手”. 如何做好这个“推手”，笔者以为应把握住本文所述的三个“度”：以宽度之宽，扩大学生参与交流的面，让小组交流成为每一名学生学习的“需要”；以梯度之分，让学生有差异地学习数学，力保每个人都有收获；以准度之精，让小组交流在课堂教学中应需而用，成为课堂教学的“关键先生”. 我想，只要我们真正做到“以生为本”，站在学生的角度设计小组交流，小组交流就一定会成为学生学和教师教的强劲有力的“助推器”！
以上仅一家之言，不足之处，敬请广大同行专家批评指正.
参考文献：
[1] 孙学东，成月芳. 初中数学合作学习“四辩”[J]. 中学数学教学参考（中旬），2012（6）：8-10.
一、宽度——“入口”宽阔，突破交流困境，确保交流普适有效
在新课标中，“学会与他人合作交流”是“问题解决”目标之一. 通过课堂上的小组交流，学生可以获取数学知识，形成基本数学技能，获得基本数学思想和活动经验. 由此可见，小组交流对每名学生都很重要. 然而，在笔者观察的众多课堂中，有些老师正如文[1]中所言，“只是向观课的同事展示自己拥有促进学生合作学习的先进理念”. 小组交流中，学生参与度不高，尤其是薄弱学生根本就没有机会发表自己的观点，成为了固定的“听众”和“看客”. 究其原因，交流材料的匮乏、交流“入口”“狭窄”是一个非常重要的原因. 笔者认为，要想提升小组交流的效益，教师就应该为学生提供丰富的交流话题，让每一名学生都有自己感兴趣的，而且可以发表见解的话题. 这样，全体同学才能主动积极地参与交流，让交流“普适”而且有效.
案例1
活动1：复习待定系数法及二次函数的性质.
自主解答下题，并按照题后的要求在小组内交流. 已知抛物线经过点（-2，0），（6，0），（2，3）三点.
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）画出这条抛物线，并尽可能多地写出由图象可以得出的结论，看看谁写得多.
小组交流：（1）抛物线的解析式的求法；（2）根据图象写出的结论.
【案例分析】 案例1的例题中，所给的三个点非常特殊，既有抛物线与x轴的交点，也有顶点. 因此，第（1）题的解题方法有三种.
解法一：将三个点代入y=ax2+bx+c得出一个三元一次方程组，再去解这个方程组求出a，b，c.
解法二：设这个函数解析式为y=a（x+2）（x-6），再将（2，3）代入求出a.
解法三：由于点（-2，0），（6，0）关于直线x=2对称，所以（2，3）就是这条抛物线的顶点. 于是设这条抛物线解析式为y=a（x-2）2+3，再从（-2，0），（6，0）两点中任选一点代入求出a的值.
第（2）题，先画图象，然后从图象、性质、特殊取值、增减性等角度归纳结论.
在活动方案中，提出了明确的交流任务. 解析式的不同求法和由图象得出的多种结论为学生的交流提供了众多的话题，确保了每一名学生在交流中都能发表自己的见解. 第（1）题，薄弱学生可以交流最基本的解法（解法一），其他同学不仅可以交流解法二、三，还能对三种解法进行比对，从而确定一种最便捷的方法；第（2）题，画图象和由图象写结论，“图象”就成为学生解题与交流的抓手，依托图象，每一名学生都能说出许多的结论来. 活动方案中，教者为学生的小组交流提供了宽阔的“入口”，每一名学生都成为了交流的主体，他们积极主动地参与，在交流中“提出各自的解决问题的策略”，通过组内思维的碰撞选择出合理的策略，“丰富了活动经验，提高了思维水平”.
二、梯度——分级分层，化解学习差异，促成人人学有所获
梯度，在这里意指“依照一定次序分出的层次”. 由于学生数学学习的状况各不相同，因此，教师在课前就应该为小组交流设置合理的梯度，对学生和交流的内容进行分层.
1. 学生分级，搭建平等对话平台
初中学生在数学学习上的差异，是无法回避的. 那么，在学生获得数学知识过程中，如何让这种差异尽可能少地产生影响呢？笔者认为，可以对学生进行分级，根据学生数学学习的状况，薄弱学生定为A级，中等学生定为B级，优等学生定为C级. 然后，让同级学生同组学习. 由于同级学生的数学认知水平差异不大，学生能在这样的小组内通过平等对话实现知识和能力上共同提升. 如此安排，每一位学生在自己的能级下，通过与同级同学的平等交流，解决自己所能够解决的问题，切实提高了小组交流的针对性和有效性.
2. 内容分层，实现人人学有所获
“不同的人在数学上得到不同的发展”，这是课标要求，也是小组交流应该遵循的原则. 有了学生的分级，交流的内容必然要分层，清晰的梯度保证了学生交流的“高度”. 内容的分层是对学生分级必要的补充，同级交流，让每名学生在自己能达到的高度上，获取知识，形成技能；异级交流，鼓励学生“跳一跳，摘到果”，促成知识和能力的更高提升.
案例2
活动1：学习线段中点的定义（略）.
活动2：“线段中点的定义”的应用.
自主解答本级例题，并在同级小组和异级小组中分别交流各自的思路.
A级例题：
如图1，若D是AB中点， E是BC中点，若AB=4，BC=6，求DE.
B级例题：
如图1，若D是AB中点， E是BC中点，若DC=8，EC=3，求AD.
C级例题：
如图1，若D是AB中点， E是BC中点，若AC=a，EB=b，求AD.
6分钟后，学生开始小组交流. 在同级小组中交流了4分钟后，又到异级小组中交流了3分钟.
【案例分析】 虽然问题的情境相同，但三级例题的梯度是明显的. A级例题仅涉及了本课所学的“线段中点的定义”；B级例题要比A级例题难一些，解答需要绕一点弯子，先根据中点定义求出线段BC=6，再利用线段之差求出AD；C级例题更难，不仅要用到线段中点定义，还涉及到了代数、整体、数形结合等思想. 为了确保初学几何的七年级学生“不掉队，不疲惫”，教者编排了这样三级例题. 通过自主解答和小组交流两个环节的实施，既保证了每一名学生的独立思考，又保证小组交流确有成效. 三级例题编排十分巧妙，不仅例题之间梯度清晰，而且三道题的情境相同，涉及数学知识也有重叠，学生不仅可以在同级中回顾所学知识，还能在异级交流中“释疑解惑”. 这样的分层分级交流，回避了学生数学认知能力的差异，促成每一名学生都学有所获. 三、准度——时机精准，把握关键时点，交流成效乘势而上
任何一次有意义、有成效的交流都应该是“恰到好处”的，其所起的作用通常是“雪中送炭”. 因此，对小组交流时机的把握就显得十分重要. 抓住教学的关键时点，让学生适时展开交流，往往能起到事半功倍的效果.
1. 新知形成过程中，交流促生成
小组交流的目的是为了学生更好地获得知识. 因此，要想是实现新知的“无痕生成”，我们就应该围绕教学目标精心预设小组交流活动. 通过有预设的小组交流，在生生互动过程中，为新知的自然生成铺平道路.
案例3
活动1：学习反比例函数的意义.
思考并在小组内交流：
下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？这些函数有什么共同特点？
（1）京沪线铁路全程为1463km，乘坐某次列车所用时间t（单位：h）随该列车平均速度v（单位：km/h）的变化而变化；
（2）某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长y（单位：m）随宽x（单位：m）的变化；
（3）已知北京市的总面积为1. 68×104平方千米，人均占有的土地面积S（单位：平方米/人）随全市总人口数n（单位：人）的变化而变化.
5分钟后，小组交流结束. 根据学生的回答，教师板书：t=■，y=■，S=■.
教师：这些式子有什么共同特点？
学生1：都是等式.
学生2：都是两个变量.
学生3：等号左边是一个单独的字母，右边都是分式的形式.
学生4：分式的分子都是常数.
教师：你能用一个式子来表示具有这种特点的式子吗？
学生5：y=■（k为常数，且k≠0）.（教师板书）
教师：很好，具有这种形式的函数我们就叫作用反比例函数. （板书课题：17. 1. 1反比例函数的意义）
【案例分析】 在案例3中，“反比例函数的意义”是本课的新知，其教学目标是“结合具体情境体会反比例函数的意义”. 在反比例函数概念形成的过程中，笔者安排了这样一次“小型”交流活动. 通过交流，小组内统一了答案，并总结了各个关系式的共同点，揭示了反比例函数的基本形式. 在接下来的师生对话中，反比例函数的概念自然“无痕”生成也就成为必然. 这样的小组交流处在教学的关键处，产生的教学效益是巨大的.
2. 思路探究困境处，交流点迷津
学生解答数学题时，难免会遇到困难. 在历经“独立思考”环节后，适时、适度的小组交流也是必须的. 此时的交流，往往能起到“一语惊醒梦中人”的妙用，为在“困境”中苦苦思索的同伴指明前行的道路.
案例4
活动2：回顾函数的图象及其性质，体验数形结合的思想方法.
自主解答下题，并在小组内交流各自的解题思路.
如图2，直线y=■x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D. 抛物线y=■x+bx+c与直线交于点A，E，与x轴交于点B，C，且B点坐标为（1，0）.
（1）直接写出该抛物线的解析式；
（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标.
自主解答. 10分钟后，学生小组交流开始. 通过小组交流，理清了第2小题的解题思路：先用分类讨论的数学思想对直角的顶点进行讨论，通过作过点A，E作AE的垂线得到P1 ，P2，再通过作以AE为直径的圆得到P3，P4（如图3）；最后，用方程的思想求出点的坐标.
【案例分析】 案例4中例题的第2问涉及到了数形结合、分类讨论等初中最重要的数学思想. 在学生解答过程中，很多人是没有清晰的解题思路的，尤其是图3中的P3，P4的确定更是解题的难点. 自主解答，只是让大多数学生通过独立思考理一理解题的思路，在接下来的交流中，在全组成员的思维的碰撞过程中，把小组中每一个人的思路集中到一起，互相取长补短，突破解题“困境”，得出准确的解题路径.
3. 纠偏纠错反思时，交流得正解
学生解题或思考中难免出错，出现错误，教者如何处置是关键. 笔者通常的做法是抓住错误不放，通过小组交流，让错误的“效益”放大，使每一位学生从中受益，最终获得解题的正确方法.
案例5
活动1：回顾解一元一次方程的一般步骤.
解方程：■-■=■-1.
一学生给出了如下解题过程：
解：
8x-4-20x-2=6x+3-1，
8x-20x-6x=3-1+4+2，
-18x=8，
x=-■.
针对学生的解答情况，教者安排一次小组交流. 具体交流要求如下：
（1）找出解题中的失误，并提出你们组的改正建议；
（2）怎样才能让这些错误减少？提出你们的“避错方案”.
经过10分钟的小组交流，各组不仅改正了解题过程中的错误，还提出了“细化解题步骤”、“代入检验”、“步步标记”等“避错方案”.
【案例分析】 纠偏纠错，不仅对出错者重要，对旁观者也很重要. 在案例5中，学生出现了错误，全体同学通过小组交流参与到了找错纠错中，放大了错误的作用，不仅让出错者及时发现错误，还让其他学生也从错误中收益. 我想，这样的交流无疑是有益的.
小组交流作为合作交流的一种非常有效的形式，受益的主体是学生. 在这过程中，教师就是“幕后推手”. 如何做好这个“推手”，笔者以为应把握住本文所述的三个“度”：以宽度之宽，扩大学生参与交流的面，让小组交流成为每一名学生学习的“需要”；以梯度之分，让学生有差异地学习数学，力保每个人都有收获；以准度之精，让小组交流在课堂教学中应需而用，成为课堂教学的“关键先生”. 我想，只要我们真正做到“以生为本”，站在学生的角度设计小组交流，小组交流就一定会成为学生学和教师教的强劲有力的“助推器”！
以上仅一家之言，不足之处，敬请广大同行专家批评指正.
参考文献：
[1] 孙学东，成月芳. 初中数学合作学习“四辩”[J]. 中学数学教学参考（中旬），2012（6）：8-10.