论文部分内容阅读
数学直觉思维在数学学习中是不可缺少的，它是分析问题和解决问题能力的一个重要组成部分，是一个有着潜在的开发学生智力意义的不可忽视的因素。因此，在数学教学中应切实加强直觉思维能力的培养，这对培养学生的探索精神和创造能力有着极其重要的意义。徐利治教授指出：“数学直觉是可以后天培养的，实际上每个人的数学直觉也是不断提高的”。数学直觉思维能力的培养包括教学中的培养和鼓励、指导学生自我锻炼两个方面。还要注意直觉思维具有不可靠性，避免被错误的直觉所误导。具体说起来数学直觉思维能力的培养应从以下几个方面进行。
1．夯实基础，丰富直觉思维源泉
美国著名心理学家J.S布鲁纳认为“直觉思维总是以熟悉牵涉到的知识领域及其结构为根据，使思维者可能实行跃进、越级和采取捷径，多少需要以后用比较分析的方法——不论演绎法或归纳法，重新检验所作的结论”（《教育过程》，文化教育出版社82年版P68—69）。布鲁纳在这里一方面指出直觉思维的根据必须是坚实的基础知识，另一方面直觉判断的真伪必须依靠分析思维来检验。因此，在数学活动中，学生不具备坚实的数学基础知识和娴熟的基本能力，是无法进行直觉思维的。任何数学直觉的产生和发展都离不开该领域的基础知识。没有一定的知识情景、知识结构、认知策略，单凭机遇是不能产生数学直觉的。有扎实而宽厚的知识与经验，以及熟练的基本技能，经过同化（顺应）重构等加工手段储存在大脑信息网络里的知识结构，是直觉思维产生的基础。在教学过程中，应引导学生认真学习基础知识、基本技能，加强思想方法的积累，储存经过处理的知识精华。如对数学概念、定理的本质理解，对数学公式变换的多种形式，解决数学问题的思路，特殊的解题技巧等。以便学生在解决问题时，能运用已有的数学知识与经验，通过对数学问题的观察、分析，迅速而准确地作出直觉判断。
例1 已知 ，求证：
直觉1：观察条件，它很像一元二次方程的根的判别式。
直觉2：由结论直观感受到两数相等，联想到一元二次方程判别式为零时，两根相等，所以视 、 为一元二次方程 即 的两个根。该方程的判别式为 ，由题设知 ，因此一元二次方程有两个相等 的实数根，故 。
例2证明恒等式：
证明：方法一
式左
式右
方法二 代入上式，均使等式成立，且原式为关于 的一元二次方程。
至多只有两个根，
此方程有三个根，
原式为恒等式。
比较这两种证法，方法一思维过程循规蹈矩、证明过程较繁琐。方法二思维清晰证明简捷。其思路显然源于直觉（倘若是第一次处理此类问题时）。等式左端写法的规律性，诱发了学生的兴趣和注意，通过观察发现x=a，x=b，x=c均能使等式成立。然而学生若对基础知识掌握不扎实，对有关方程概念不清楚，就不可能看到此恒等式实质上是一个一元二次方程，若对一元二次方程求根公式不熟悉，就不可能想到一元二次方程式至多只有两个根，想不到这一点，就不可能有如此漂亮的证法。
量的积累是质的飞跃的前提，没有对一元二次方程相关知识的正确把握，则不可能有此题的直觉判断。没有深厚的功底是不会迸发出思维的火花的，丰富的数学知识的积累是产生直觉思维的源泉。
2．感受数学美，激发直觉思维动力
伟大的科学家庞加莱指出：“能够作出数学发现的人，是具有感受数学中秩序、和谐、对称、整齐和神秘之美能力的人，而且只限于这种人。”数学美充满了整个数学领域，而这些数学美是引起数学直觉的动力，是产生数学直觉的重要条件。我们在教学实践中应充分展现数学美，挖掘数学美和创造数学美，激发学生对数学美的追求，提高他们对数学美的鉴赏能力，引导学生按照美的规律去想像、去判断。
例1解关于x的方程
直觉：由方程的结构特征，感受到数学的和谐与对称美。
猜想方程的解为 进而再利用“方程的解”的概念进行验证，可使问题迅速求解，此题若用一般方法解答则比较繁琐。
例2解方程组
从方程组的特殊表现形式，就给我们以美的感受，它一定会有简捷的解法。于是引导学生回忆学过的方程组：
在解这个方程组时，有很简便的一种解法，即④+⑤+⑥，得⑦
把⑦分别与④、⑤、⑥相减，即得方程组的解。这种方法称之为叠加法。
对比两个方程组的结构特征，解方程组既然有迭加法，那么一定会有连乘法。学生已贮存的知识信息立即由潜意识的状态转入显意识状态，上述方程组的巧妙解决脱颖而出：
① ② ③，得 。
两边开平方，得xyz=6，或 ，这两式分别除以①、②、③，得方程组的解为
由此可见，数学美感是数学直觉产生的重要条件，同时又是爆发数学灵感的“刺激素”。
现代科学美学研究表明了审美活动是直觉思维的一种重要的形式，科学的美感推动了学生积极展开直觉思维、提出假设，其间，数学的简单、对称、和谐、奇异美往往发挥着重要作用。
例3如图，BP=CQ，A为线段外的一动点，且∠BAP=∠CAQ，则△ABC是什么三角形?试证明你的结论。
分析：这里根据条件“BP=CQ，∠BAP=∠CAQ”无法用三段论推知结论，有很多学生一眼凭直觉就看出是等腰三角形(AB=AC)。但进一步要问他们为什么时，学生回答说根据对称性猜的，无法给出严格的逻辑推理。这例正好反映了数学审美意识在直觉思维中的作用。
3．设置情境，创造直觉思维环境
任何直觉只有在一定的情境下才能触发产生。因此我们在教学中应有意选择一些有诱发学生产生直觉思维的数学材料让学生思考，启发学生善于抓住事物的本质及其内在联系，进行直觉思维。
例1根据方程 ，求 的值。
直觉：根据方程的特点有 。
所以x=0，从而求得 。如此简洁迅速地解决了问题。
例2与x轴、y轴都相切的圆的圆心为点P，且圆P过点Q（1，8），则P点坐标为（ ）。
A．（5，5）B．(13，13) C．(5，5)或(13，13) D．(5，5)或(8，13)
分析：直觉：①圆心在y=x上，故横、纵坐标相同；
②可作两个圆，故选（C）
另外，教师应该在课堂教学中明确提出为直觉思维正名，肯定其作用和地位。对于学生的大胆猜想给予充分肯定，对其合理成分及时给予鼓励，爱护、扶植学生的自发性直觉思维，为学生创造一个良好的直觉思维环境，随着时间的推移，一定会产生群体效应，这样对渗透直觉观念与思维能力的发展大有裨益。
4．数形结合，诱导直觉思维动机
著名数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非”。这说明数离不开形。在解题时，若能构造出恰当的几何图形常常能提出令人拍案称奇的巧妙解法，而且数形结合也是诱导学生数学直觉思维动机的一个极好的切入点。
例如 计算
直觉：由算式的结构特征感受到后一个数总是前一个数的一半。若构造图1来解此题，令人叫绝。
由图的规律可知原式
因此对于一些数学知识和问题，如能将它们直观化、形象化，不仅有利于学生对知识的理解和问题的解决，而且还能使学生感受、体验直觉思维的功能，进而训练和培养学生的直觉思维能力。
5．鼓励猜想，培养直觉思维信心
著名科学家牛顿所说：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现”。新课程理念鼓励创新，要求学生能收集、选择、处理数学信息，并作出合理的推断和大胆的猜想。合理、科学的猜想是直觉思维的重要形式，也是科学发现的重要途径。我们在数学教学中，要根据教材编写的特点和学生的认识规律，引导学生开动脑筋，培养学生直觉猜想的习惯。对于标新立异者，他们虽不能对问题给出明确的思维过程，但仍要给以支持，激发他们去寻求完善的结果。使他们获得发现新事物的信心，强化他们的自信力。
例1 平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点。请设计一种方法，将所有整点染色，每一整点染成白色、红色或黑色中的一种颜色，使得：（1）每一种颜色的点出现在无穷多条平行与横轴的直线上；（2）对于任意白色 A、红点 B 及黑点 C，总可以找到一个红点 D，使 ABCD 成为一个平行四边形，证明你设计的方法符合上述要求。
对于这道题，凭直觉猜测，红点可能多些，且让红、黑、白三点不共线，再根据平行四边形中心对称的特点，从特殊位置下手，设计出符合要求的方案：Y 轴正半轴上整点（包括原点）染成白色，Y 轴负半轴上整点染为黑色，其余各整点染为红色。这样，问题就解决了。
例2 底边是BC=a，面积为S的三角形的顶点A的轨迹是（）。
A．平行于BC的两条直线
B．平行于BC且与BC的距离为 的一条直线
C．平行于BC且与BC的距离为 的一条直线
D．平行于BC且与BC的距离为 的两条直线
猜想：因为点A未确定，可能在BC的两旁，大概是两条平行线，这样可以估断是A或D。由于 的面积一定且底边固定，其高也应是确定的，所以应选择D。
验证 ，选择D是正确的。
通过直觉猜想使学生获得了新知识，增强了他们学好数学的信心，逐步培养了学生的直觉思维能力，同时也激发了学生学习数学的兴趣。
在大力倡导创新教育的今天，培养学生的直觉思维就显得尤为重要，因为直觉思维可使学生智力得到发挥，尤其是观察力、想象力与创造性思维能力得到迅速提高。但在教学实际中还得注意两种现象：一是直觉不可能完全正确， 有可能得出错误结论，教师应正面引导，即使错了，不能批评，应引导他们重新思考，向数学家学习，树立学生直觉猜想的决心和勇气；二是出现另一极端———学生以直觉代替论证，对此教师必须强调直觉的结论要经过严格证明才能认可，否则就违背了数学学科的严谨性。总之，重视学生数学直觉思维能力的培养，对于克服思维的单向性，具有十分重要的意义。在数学学习的过程中，逻辑思维和直觉思维二者缺一不可。因此，我们在数学教学中，要适时地把握契机，在训练和培养学生的逻辑思维能力的同时，要同样注重直觉思维能力的训练与培养，进一步培养学生的创新意识，发展学生的创造性思维能力，全面提高学生的思维素质。
在数学教学中，更新教育观念，适应素质教育发展，教师的主导作用在于启发、推动学生的思维，发现和赏识学生创造的火花，引导和培养学生探索、钻研的兴趣。让学生学会思维、学会运用直觉思维来突显新课标下的新教学。
伊思斯图尔特曾经说过这样一句话，“数学的全部力量就在于直觉和严格性巧妙的结合在一起，受控制的精神和富有灵感的逻辑” 受控制的精神和富有灵感的逻辑正是数学的魅力所在，也是数学教育者努力的方向。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部．全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[M]．北京：北京师范大学出版社．2001．7
[2]胡超群．中学数学直觉思维及培养[J]．四川教育学院学报．2004．6
[3]任樟辉．郭安善．数学直觉思维新探[J]．数学教育．2002．10
[4]王湘平．新课程背景下学生数学问题解决能力的培养[J]．零陵学院学报．2004．8
[5]许佳节．浅谈在中学数学教学中直觉思维能力的培养[J]．铜仁师专学报．1999．1
[6]贾振堂．初中生数学直觉思维能力培养[J]．中学数学教学参考．1999．10
收稿日期：2011-08-18
1．夯实基础，丰富直觉思维源泉
美国著名心理学家J.S布鲁纳认为“直觉思维总是以熟悉牵涉到的知识领域及其结构为根据，使思维者可能实行跃进、越级和采取捷径，多少需要以后用比较分析的方法——不论演绎法或归纳法，重新检验所作的结论”（《教育过程》，文化教育出版社82年版P68—69）。布鲁纳在这里一方面指出直觉思维的根据必须是坚实的基础知识，另一方面直觉判断的真伪必须依靠分析思维来检验。因此，在数学活动中，学生不具备坚实的数学基础知识和娴熟的基本能力，是无法进行直觉思维的。任何数学直觉的产生和发展都离不开该领域的基础知识。没有一定的知识情景、知识结构、认知策略，单凭机遇是不能产生数学直觉的。有扎实而宽厚的知识与经验，以及熟练的基本技能，经过同化（顺应）重构等加工手段储存在大脑信息网络里的知识结构，是直觉思维产生的基础。在教学过程中，应引导学生认真学习基础知识、基本技能，加强思想方法的积累，储存经过处理的知识精华。如对数学概念、定理的本质理解，对数学公式变换的多种形式，解决数学问题的思路，特殊的解题技巧等。以便学生在解决问题时，能运用已有的数学知识与经验，通过对数学问题的观察、分析，迅速而准确地作出直觉判断。
例1 已知 ，求证：
直觉1：观察条件，它很像一元二次方程的根的判别式。
直觉2：由结论直观感受到两数相等，联想到一元二次方程判别式为零时，两根相等，所以视 、 为一元二次方程 即 的两个根。该方程的判别式为 ，由题设知 ，因此一元二次方程有两个相等 的实数根，故 。
例2证明恒等式：
证明：方法一
式左
式右
方法二 代入上式，均使等式成立，且原式为关于 的一元二次方程。
至多只有两个根，
此方程有三个根，
原式为恒等式。
比较这两种证法，方法一思维过程循规蹈矩、证明过程较繁琐。方法二思维清晰证明简捷。其思路显然源于直觉（倘若是第一次处理此类问题时）。等式左端写法的规律性，诱发了学生的兴趣和注意，通过观察发现x=a，x=b，x=c均能使等式成立。然而学生若对基础知识掌握不扎实，对有关方程概念不清楚，就不可能看到此恒等式实质上是一个一元二次方程，若对一元二次方程求根公式不熟悉，就不可能想到一元二次方程式至多只有两个根，想不到这一点，就不可能有如此漂亮的证法。
量的积累是质的飞跃的前提，没有对一元二次方程相关知识的正确把握，则不可能有此题的直觉判断。没有深厚的功底是不会迸发出思维的火花的，丰富的数学知识的积累是产生直觉思维的源泉。
2．感受数学美，激发直觉思维动力
伟大的科学家庞加莱指出：“能够作出数学发现的人，是具有感受数学中秩序、和谐、对称、整齐和神秘之美能力的人，而且只限于这种人。”数学美充满了整个数学领域，而这些数学美是引起数学直觉的动力，是产生数学直觉的重要条件。我们在教学实践中应充分展现数学美，挖掘数学美和创造数学美，激发学生对数学美的追求，提高他们对数学美的鉴赏能力，引导学生按照美的规律去想像、去判断。
例1解关于x的方程
直觉：由方程的结构特征，感受到数学的和谐与对称美。
猜想方程的解为 进而再利用“方程的解”的概念进行验证，可使问题迅速求解，此题若用一般方法解答则比较繁琐。
例2解方程组
从方程组的特殊表现形式，就给我们以美的感受，它一定会有简捷的解法。于是引导学生回忆学过的方程组：
在解这个方程组时，有很简便的一种解法，即④+⑤+⑥，得⑦
把⑦分别与④、⑤、⑥相减，即得方程组的解。这种方法称之为叠加法。
对比两个方程组的结构特征，解方程组既然有迭加法，那么一定会有连乘法。学生已贮存的知识信息立即由潜意识的状态转入显意识状态，上述方程组的巧妙解决脱颖而出：
① ② ③，得 。
两边开平方，得xyz=6，或 ，这两式分别除以①、②、③，得方程组的解为
由此可见，数学美感是数学直觉产生的重要条件，同时又是爆发数学灵感的“刺激素”。
现代科学美学研究表明了审美活动是直觉思维的一种重要的形式，科学的美感推动了学生积极展开直觉思维、提出假设，其间，数学的简单、对称、和谐、奇异美往往发挥着重要作用。
例3如图，BP=CQ，A为线段外的一动点，且∠BAP=∠CAQ，则△ABC是什么三角形?试证明你的结论。
分析：这里根据条件“BP=CQ，∠BAP=∠CAQ”无法用三段论推知结论，有很多学生一眼凭直觉就看出是等腰三角形(AB=AC)。但进一步要问他们为什么时，学生回答说根据对称性猜的，无法给出严格的逻辑推理。这例正好反映了数学审美意识在直觉思维中的作用。
3．设置情境，创造直觉思维环境
任何直觉只有在一定的情境下才能触发产生。因此我们在教学中应有意选择一些有诱发学生产生直觉思维的数学材料让学生思考，启发学生善于抓住事物的本质及其内在联系，进行直觉思维。
例1根据方程 ，求 的值。
直觉：根据方程的特点有 。
所以x=0，从而求得 。如此简洁迅速地解决了问题。
例2与x轴、y轴都相切的圆的圆心为点P，且圆P过点Q（1，8），则P点坐标为（ ）。
A．（5，5）B．(13，13) C．(5，5)或(13，13) D．(5，5)或(8，13)
分析：直觉：①圆心在y=x上，故横、纵坐标相同；
②可作两个圆，故选（C）
另外，教师应该在课堂教学中明确提出为直觉思维正名，肯定其作用和地位。对于学生的大胆猜想给予充分肯定，对其合理成分及时给予鼓励，爱护、扶植学生的自发性直觉思维，为学生创造一个良好的直觉思维环境，随着时间的推移，一定会产生群体效应，这样对渗透直觉观念与思维能力的发展大有裨益。
4．数形结合，诱导直觉思维动机
著名数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非”。这说明数离不开形。在解题时，若能构造出恰当的几何图形常常能提出令人拍案称奇的巧妙解法，而且数形结合也是诱导学生数学直觉思维动机的一个极好的切入点。
例如 计算
直觉：由算式的结构特征感受到后一个数总是前一个数的一半。若构造图1来解此题，令人叫绝。
由图的规律可知原式
因此对于一些数学知识和问题，如能将它们直观化、形象化，不仅有利于学生对知识的理解和问题的解决，而且还能使学生感受、体验直觉思维的功能，进而训练和培养学生的直觉思维能力。
5．鼓励猜想，培养直觉思维信心
著名科学家牛顿所说：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现”。新课程理念鼓励创新，要求学生能收集、选择、处理数学信息，并作出合理的推断和大胆的猜想。合理、科学的猜想是直觉思维的重要形式，也是科学发现的重要途径。我们在数学教学中，要根据教材编写的特点和学生的认识规律，引导学生开动脑筋，培养学生直觉猜想的习惯。对于标新立异者，他们虽不能对问题给出明确的思维过程，但仍要给以支持，激发他们去寻求完善的结果。使他们获得发现新事物的信心，强化他们的自信力。
例1 平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点。请设计一种方法，将所有整点染色，每一整点染成白色、红色或黑色中的一种颜色，使得：（1）每一种颜色的点出现在无穷多条平行与横轴的直线上；（2）对于任意白色 A、红点 B 及黑点 C，总可以找到一个红点 D，使 ABCD 成为一个平行四边形，证明你设计的方法符合上述要求。
对于这道题，凭直觉猜测，红点可能多些，且让红、黑、白三点不共线，再根据平行四边形中心对称的特点，从特殊位置下手，设计出符合要求的方案：Y 轴正半轴上整点（包括原点）染成白色，Y 轴负半轴上整点染为黑色，其余各整点染为红色。这样，问题就解决了。
例2 底边是BC=a，面积为S的三角形的顶点A的轨迹是（）。
A．平行于BC的两条直线
B．平行于BC且与BC的距离为 的一条直线
C．平行于BC且与BC的距离为 的一条直线
D．平行于BC且与BC的距离为 的两条直线
猜想：因为点A未确定，可能在BC的两旁，大概是两条平行线，这样可以估断是A或D。由于 的面积一定且底边固定，其高也应是确定的，所以应选择D。
验证 ，选择D是正确的。
通过直觉猜想使学生获得了新知识，增强了他们学好数学的信心，逐步培养了学生的直觉思维能力，同时也激发了学生学习数学的兴趣。
在大力倡导创新教育的今天，培养学生的直觉思维就显得尤为重要，因为直觉思维可使学生智力得到发挥，尤其是观察力、想象力与创造性思维能力得到迅速提高。但在教学实际中还得注意两种现象：一是直觉不可能完全正确， 有可能得出错误结论，教师应正面引导，即使错了，不能批评，应引导他们重新思考，向数学家学习，树立学生直觉猜想的决心和勇气；二是出现另一极端———学生以直觉代替论证，对此教师必须强调直觉的结论要经过严格证明才能认可，否则就违背了数学学科的严谨性。总之，重视学生数学直觉思维能力的培养，对于克服思维的单向性，具有十分重要的意义。在数学学习的过程中，逻辑思维和直觉思维二者缺一不可。因此，我们在数学教学中，要适时地把握契机，在训练和培养学生的逻辑思维能力的同时，要同样注重直觉思维能力的训练与培养，进一步培养学生的创新意识，发展学生的创造性思维能力，全面提高学生的思维素质。
在数学教学中，更新教育观念，适应素质教育发展，教师的主导作用在于启发、推动学生的思维，发现和赏识学生创造的火花，引导和培养学生探索、钻研的兴趣。让学生学会思维、学会运用直觉思维来突显新课标下的新教学。
伊思斯图尔特曾经说过这样一句话，“数学的全部力量就在于直觉和严格性巧妙的结合在一起，受控制的精神和富有灵感的逻辑” 受控制的精神和富有灵感的逻辑正是数学的魅力所在，也是数学教育者努力的方向。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部．全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[M]．北京：北京师范大学出版社．2001．7
[2]胡超群．中学数学直觉思维及培养[J]．四川教育学院学报．2004．6
[3]任樟辉．郭安善．数学直觉思维新探[J]．数学教育．2002．10
[4]王湘平．新课程背景下学生数学问题解决能力的培养[J]．零陵学院学报．2004．8
[5]许佳节．浅谈在中学数学教学中直觉思维能力的培养[J]．铜仁师专学报．1999．1
[6]贾振堂．初中生数学直觉思维能力培养[J]．中学数学教学参考．1999．10
收稿日期：2011-08-18