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一条直线可以通过平移、旋转、轴对称等方式来改变位置.图象的位置发生了变化后，解析式当然也会随之改变.求变换后的图象的解析式，是一次函数学习中的常见题型.
一 平移
直线的平移分为沿着坐标轴的方向上下平移或左右平移，也可以是斜方向平移，上下平移只改变每个点的纵坐标的值，规律是“上加下减”；左右平移只改变每个点的横坐标的值，其规律是“左加右减”.斜方向的平移则可以分解为先上下（或左右）平移、再左右（或上下）平移，在平移的过程中，k的值始终保持不变.
例l （2012年·怀化）在平面直角坐标系中，把直线y=2x向左平移1个单位长度后，其解析式为（）.
A.y=2（x l）
B.y=2（x-l）
C.y=2x 1
D.y=2x-l
解析：选A.
侧2 （2013年·包头）如图1.已知一条直线经过A（O，2），B（1，0）.将这条直线向左平移，与x轴，y轴分别交于点C，D.若DB=DC，则直线CD的解析式为______.
解析：设直线AB的解析式为y=kx b，由待定系数法可得解析式为y=-2x 2.
易证（斜边直角边），从而有（角角边）.
平移相当于AB向下平移4个单位，故平移后的直线的解析式为y=-2x-2.
例3（2012年·衡阳）一次函数Y=kx b的图象与正比例函数y=2x的图象平行，且经过点A（1，一2），则kb=______.
解析：根据两条平行直线的解析式中的“k”相等可得出k的值，然后把点A的坐标代入解析式，求出b的值.再代入代数式进行计算即可.填-8.
二 翻折与轴对称
与直线y=kx b关于x轴对称的直线，其上每个点（x，y）与它的对应点都关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数.故（x，-y）应在直线y=kx b上，则-y=kx b，即y=-kx-b.此为与直线y=kx b关于x轴对称的直线的解析式，
同理，可得与直线-v=kx b关于y轴对称的lI线的解析式为y=-kx b.
例4 （2013年·萍乡）已知直线y=2x 6.求与直线y=2x 6关于直线x=5对称的直线的解析式.
分析：求直线解析式，只要知道直线上的两个点的坐标即可，显然，直线y=2x 6与x=5的交点在要求的直线上，再取直线y=2x 6上的一个特殊点，求出它关于直线x=5的对称点，就可以用待定系数法求出解析式了，
解：当x=5时.y=2x 6=2x5 6=16.
∴所求直线与直线x=5的交点坐标为（5，16）.
当x=-3时，y=2x 6=2x（-3） 6=0.点（-3，0）在直线y=2x 6上，它关于直线x=5的对称点为（13，0）.故所求直线经过两点（5，16），（13，0）.
由待定系数法可得所求的解析式为y=-2x 26.
例5 （2013年·温州）如图2，在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（-2，0），（-1，0），BC⊥x轴.将△ABC以y轴为对称轴作轴对称变换，得到△A’B’C’.若直线y=x b经过点A，C’，则点C’的坐标是______.
分析：根据轴对称的性质可得OB=OB’，然后可求出AB’.再根据直线y=x b（它与直线y=x平行，因而与x轴的夹角为45°）可得AB’=B’C’，然后写出点C’的坐标即可.
解：易知OA=2，OB=I.△A’B’C’和△ABC关于y轴对称，故OB’=OB=1，AB’=OA DB’=2 1=3.因直线Y=x b经过点A，C’，所以△AB’C’是等腰直角三角形.B’C’=AB’=3.
∴点C’的坐标为（1，3）.
求变换后直线的解析式，关键是确定变换后直线上的两个点的坐标.如果是平移变换，k的值不变，只须再确定直线上一个点的坐标即可.
练习：
1.（2013年·济南）若直线y=kx与四条直线x=l，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点（如图3），则k的取值范围是______.
2.直线y=-3x 4沿第一、三象限的角平分线向上平移4个单位长度，求平移后的直线的解析式.
参考答案：
1.因直线y=kx与直线x=l的最高交点为（1，2），与x=2的最低交点为（2，1），所以
2.（提示：可分解为向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度）.
一 平移
直线的平移分为沿着坐标轴的方向上下平移或左右平移，也可以是斜方向平移，上下平移只改变每个点的纵坐标的值，规律是“上加下减”；左右平移只改变每个点的横坐标的值，其规律是“左加右减”.斜方向的平移则可以分解为先上下（或左右）平移、再左右（或上下）平移，在平移的过程中，k的值始终保持不变.
例l （2012年·怀化）在平面直角坐标系中，把直线y=2x向左平移1个单位长度后，其解析式为（）.
A.y=2（x l）
B.y=2（x-l）
C.y=2x 1
D.y=2x-l
解析：选A.
侧2 （2013年·包头）如图1.已知一条直线经过A（O，2），B（1，0）.将这条直线向左平移，与x轴，y轴分别交于点C，D.若DB=DC，则直线CD的解析式为______.
解析：设直线AB的解析式为y=kx b，由待定系数法可得解析式为y=-2x 2.
易证（斜边直角边），从而有（角角边）.
平移相当于AB向下平移4个单位，故平移后的直线的解析式为y=-2x-2.
例3（2012年·衡阳）一次函数Y=kx b的图象与正比例函数y=2x的图象平行，且经过点A（1，一2），则kb=______.
解析：根据两条平行直线的解析式中的“k”相等可得出k的值，然后把点A的坐标代入解析式，求出b的值.再代入代数式进行计算即可.填-8.
二 翻折与轴对称
与直线y=kx b关于x轴对称的直线，其上每个点（x，y）与它的对应点都关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数.故（x，-y）应在直线y=kx b上，则-y=kx b，即y=-kx-b.此为与直线y=kx b关于x轴对称的直线的解析式，
同理，可得与直线-v=kx b关于y轴对称的lI线的解析式为y=-kx b.
例4 （2013年·萍乡）已知直线y=2x 6.求与直线y=2x 6关于直线x=5对称的直线的解析式.
分析：求直线解析式，只要知道直线上的两个点的坐标即可，显然，直线y=2x 6与x=5的交点在要求的直线上，再取直线y=2x 6上的一个特殊点，求出它关于直线x=5的对称点，就可以用待定系数法求出解析式了，
解：当x=5时.y=2x 6=2x5 6=16.
∴所求直线与直线x=5的交点坐标为（5，16）.
当x=-3时，y=2x 6=2x（-3） 6=0.点（-3，0）在直线y=2x 6上，它关于直线x=5的对称点为（13，0）.故所求直线经过两点（5，16），（13，0）.
由待定系数法可得所求的解析式为y=-2x 26.
例5 （2013年·温州）如图2，在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（-2，0），（-1，0），BC⊥x轴.将△ABC以y轴为对称轴作轴对称变换，得到△A’B’C’.若直线y=x b经过点A，C’，则点C’的坐标是______.
分析：根据轴对称的性质可得OB=OB’，然后可求出AB’.再根据直线y=x b（它与直线y=x平行，因而与x轴的夹角为45°）可得AB’=B’C’，然后写出点C’的坐标即可.
解：易知OA=2，OB=I.△A’B’C’和△ABC关于y轴对称，故OB’=OB=1，AB’=OA DB’=2 1=3.因直线Y=x b经过点A，C’，所以△AB’C’是等腰直角三角形.B’C’=AB’=3.
∴点C’的坐标为（1，3）.
求变换后直线的解析式，关键是确定变换后直线上的两个点的坐标.如果是平移变换，k的值不变，只须再确定直线上一个点的坐标即可.
练习：
1.（2013年·济南）若直线y=kx与四条直线x=l，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点（如图3），则k的取值范围是______.
2.直线y=-3x 4沿第一、三象限的角平分线向上平移4个单位长度，求平移后的直线的解析式.
参考答案：
1.因直线y=kx与直线x=l的最高交点为（1，2），与x=2的最低交点为（2，1），所以
2.（提示：可分解为向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度）.