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一、填空题
1．设全集U=R，集合A={x|x≥1}，B={x|0≤x<5}，则集合(
瘙 綂 UA)∩B= ．
2．已知复数z1=－1+ai，z2=b－3i，a,b∈R，且z1+z2与z1•z2均为实数，则z1z2= ．
3．某同学五次考试的数学成绩分别是120，129，121，125，130，则这五次考试成绩的方差是 ．
4．△ABC中，若sinA=2sinB，AC=2，则BC= ．
5．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S8=30,S4=7,则a4的值等于 ．
6．直线(1+3m)x+(3－2m)y+8m－12=0(m∈R)与圆x2+y2－2x－6y+1=0的交点个数为 个．
7．已知双曲线x2a－y22=1的一个焦点坐标为(－3,0)，则其渐近线方程为．
8．已知α，β为不重合的两个平面，直线mα，那么“m⊥β”是“α⊥β”的 条件．
9．已知△ABD是等边三角形，且AB+12AD=AC，|CD|=3，那么四边形ABCD的面积为 ．
10．曲线C：f(x)=sinx+ex+2在x=0处的切线方程为．
11．函数y=sinx(3sinx+4cosx)(x∈R)的最大值为M，最小正周期为T，则有序数对(M,T)为 ．
12．对于直线l和平面α,β，有下列命题：①若α∥β且l∥β，则l∥α；②若lβ且α⊥β,则l⊥α；③若l⊥β且α⊥β，则l∥α；④若l⊥β且α∥β，则l⊥α；其中真命题是 ．
13．已知点P(x,y)的坐标满足x－y+1≥0x+y≤6y－1≥0，设A（2，0），则|OP|•cos∠AOP（O为坐标原点）的最大值为 ．
14．设二次函数f(x)=ax2－4x+c（x∈R）的值域为［0,+∞)，则1c+1+9a+9的最大值为 ．
二、解答题
15．已知向量a=(sin θ,2),b=(cos θ,1),且a∥b，其中θ∈(0,π2)．
（1）求sin θ和cos θ的值；
（2）若sin (θ-ω)=35，0＜ω＜π2求cos ω的值．
16．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知，BD=2AD=4,AB=2DC=25．
（1）求证：BD⊥平面PAD；
（2）求三棱锥A-PCD的体积．
17．设A,B分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点(1,32)在该椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设P为直线x=4上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP与椭圆相交于异于A的点M，证明：△MBP为钝角三角形．
18．已知等差数列{an}中，首项a1=1，公差d为整数，且满足a1+3a4，数列{bn}满足bn=1an•an+1，其前n项和为Sn.
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）若S2为S1,Sm（m∈N*）的等比中项，求正整数m的值．
19．已知函数f(x)=xlnx．
（1）求函数f(x)在［1,3］上的最小值；
（2）若存在x∈［1e,e］（e为自然对数的底数，且e=2.71828…）使不等式2f(x)≥－x2+ax－3成立，求实数a的取值范围．
20．已知集合A={a1,a2,…,an}中的元素都是正整数，且a1＜a2＜…＜an，集合A具有性质P：对任意的x，y∈A且x≠y，有|x-y|≥xy25．
(1)判断集合{1,2,3,4}是否具有性质P；
(2)求证：1a1-1an≥n-125；
(3)求证：n≤9．
参考答案
一、填空题
1．｛x|0≤x<1｝
2．－12－32i
3．16.4
4．4
5．134
6．2
7．y=±2x
8．充分不必要
9．332
10．2x－y+3=0
11．(4,π)
12．④
13．5
14．65
二、解答题
15．（1）解：∵a=(sin θ，2),b=(cos θ,1),且a∥b，∴sin θ2=cos θ1，即sin θ=2cos θ.
∵sin2 θ+cos2 θ=1,θ∈(0,π2),解得sin θ=255,cos θ=55,
∴sinθ=255,cos θ=55.
（2）解:∵0＜ω＜π2，0＜θ＜π2，∴-π2＜θ-ω＜π2.∵sin(θ-ω)=35，
∴cos(θ-ω)=1-sin2(θ-ω)=45.
∴cos ω=cos[θ-(θ-ω)]=cos θcos (θ-ω)+sin θsin(θ-ω)=255.
16．（1）证明：在△ABD中，由于AD=2，BD=4，AB=25，∴AD2+BD2=AB2.
∴AD⊥BD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD平面ABCD，∴BD⊥平面PAD.
（2）解：过P作PO⊥AD交AD于O.又平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD．
∵△PAD是边长为2的等边三角形，∴PO=3.
由（1）知，AD⊥BD，在Rt△ABD中，
斜边AB边上的高为h=AD×BDAB=455.
∵AB∥DC，∴s△ACD=12CD×h=12×5×455=2.
∴VA-PCD=VP-ACD=13S△ACD×PO=13×2×3=233.
17．（1）解：由题意：2a=4，所以a=2．所求椭圆方程为x24+y2b2=1．
又点(1,32)在椭圆上，可得b2=1．所求椭圆方程为x24+y2=1．
（2）证明：由（1）知：A(－2,0),B(2,0)．设P(4,t)，M(xM,yM)．
则直线PA的方程为：y=t6(x+2)．由y=t6(x+2),x2+4y2=4,得(9+t2)x2+4t2x+4t2－36=0．
因为直线PA与椭圆相交于异于A的点M，所以－2+xM=－4t29+t2，所以xM=－2t2+189+t2．
由yM=t6(xM+2)，得yM=6t9+t2．所以M(－2t2+189+t2,6t9+t2)．
从而BM=(－4t29+t2,6t9+t2)，BP=(2,t)．所以BM•BP=－8t29+t2+6t29+t2=－2t29+t2<0．
又M,B,P三点不共线，所以∠MBP为钝角．所以△MBP为钝角三角形．
18．解：（1）由题意，得a1+3a1+3d,解得32 又d∈Z，∴d=2．∴an=1+(n－1)•2=2n－1．
（2）∵bn=1an•an+1=1(2n－1)(2n+1)=12(12n－1－12n+1)，
∴Sn=12［(1－13)+(13－15)+•••+(12n－1－12n+1)］=12(1－12n+1)=n2n+1．
∵S1=13，S2=25，Sm=m2m+1，S2为S1,Smm∈N的等比中项，
∴S22=SmS1，即252=13•m2m+1，解得m=12．
19．解：（1）由f(x)=xlnx，可得f′(x)=lnx+1，
当x∈(0,1e)时，f′(x)<0,f(x)单调递减；当x∈(1e,+∞)时，f′(x)>0,f(x)单调递增．
所以函数f(x)在［1,3］上单调递增．又f(1)=ln1=0，所以函数f(x)在［1,3］上的最小值为0．
（2）由题意知，2xlnx≥－x2+ax－3,则a≤2lnx+x+3x．
若存在x∈［1e,e］使不等式2f(x)≥－x2+ax－3成立，
只需a小于或等于2lnx+x+3x的最大值．
设h(x)=2lnx+x+3x(x>0)，则h′(x)=2x+1－3x2=(x+3)(x－1)x2．
当x∈［1e,1)时，h′(x)<0,h(x)单调递减；当x∈(1,e］时，h′(x)>0,h(x)单调递增．
由h(1e)=－2+1e+3e，h(e)=2+e+3e，h(1e)－h(e)=2e－2e－4>0，可得h(1e)>h(e)．
所以，当x∈［1e,e］时，h(x)的最大值为h(1e)=－2+1e+3e．故a≤－2+1e+3e.
20．(1)解：由于|1-2|≥1×225，|1-3|≥1×325，|1-4|≥1×425，
|2-3|≥2×325，|2-4|≥2×425，|3-4|≥3×425，
所以集合{1,2,3,4}具有性质P．
（2）证明：依题意有|ai-ai+1|≥aiai+125(i=1,2,…,n-1)，又a1＜a2＜…an，
因此ai+1-ai≥aiai+125(i=1,2,…,n-1)．可得1ai-1ai+1≥125(i=1,2,…,n-1)．
所以1a1-1a2+1a2-1a3+…+1ai-1ai+1+…+1an-1-1an≥n-125．即1a1-1an≥n-125．
（3）证明：由(2)可得1a1＞n-125．
又a1≥1，可得1＞n-125，因此n＜26．
同理1ai-1an≥n-i25(i=1,2,3,…,n-1)，可知1ai＞n-i25．
又ai≥i，可得1i＞n-i25，所以i(n-i)＜25(i=1,2,…,n-1)均成立．
当n≥10时，取i=5，则i(n-i)=5(n-5)≥25，可知n＜10．
又当n≤9时，i(n-i)≤(i+n-i2)2=(n2)2＜25．所以n≤9．
1．设全集U=R，集合A={x|x≥1}，B={x|0≤x<5}，则集合(
瘙 綂 UA)∩B= ．
2．已知复数z1=－1+ai，z2=b－3i，a,b∈R，且z1+z2与z1•z2均为实数，则z1z2= ．
3．某同学五次考试的数学成绩分别是120，129，121，125，130，则这五次考试成绩的方差是 ．
4．△ABC中，若sinA=2sinB，AC=2，则BC= ．
5．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S8=30,S4=7,则a4的值等于 ．
6．直线(1+3m)x+(3－2m)y+8m－12=0(m∈R)与圆x2+y2－2x－6y+1=0的交点个数为 个．
7．已知双曲线x2a－y22=1的一个焦点坐标为(－3,0)，则其渐近线方程为．
8．已知α，β为不重合的两个平面，直线mα，那么“m⊥β”是“α⊥β”的 条件．
9．已知△ABD是等边三角形，且AB+12AD=AC，|CD|=3，那么四边形ABCD的面积为 ．
10．曲线C：f(x)=sinx+ex+2在x=0处的切线方程为．
11．函数y=sinx(3sinx+4cosx)(x∈R)的最大值为M，最小正周期为T，则有序数对(M,T)为 ．
12．对于直线l和平面α,β，有下列命题：①若α∥β且l∥β，则l∥α；②若lβ且α⊥β,则l⊥α；③若l⊥β且α⊥β，则l∥α；④若l⊥β且α∥β，则l⊥α；其中真命题是 ．
13．已知点P(x,y)的坐标满足x－y+1≥0x+y≤6y－1≥0，设A（2，0），则|OP|•cos∠AOP（O为坐标原点）的最大值为 ．
14．设二次函数f(x)=ax2－4x+c（x∈R）的值域为［0,+∞)，则1c+1+9a+9的最大值为 ．
二、解答题
15．已知向量a=(sin θ,2),b=(cos θ,1),且a∥b，其中θ∈(0,π2)．
（1）求sin θ和cos θ的值；
（2）若sin (θ-ω)=35，0＜ω＜π2求cos ω的值．
16．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知，BD=2AD=4,AB=2DC=25．
（1）求证：BD⊥平面PAD；
（2）求三棱锥A-PCD的体积．
17．设A,B分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点(1,32)在该椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设P为直线x=4上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP与椭圆相交于异于A的点M，证明：△MBP为钝角三角形．
18．已知等差数列{an}中，首项a1=1，公差d为整数，且满足a1+3
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）若S2为S1,Sm（m∈N*）的等比中项，求正整数m的值．
19．已知函数f(x)=xlnx．
（1）求函数f(x)在［1,3］上的最小值；
（2）若存在x∈［1e,e］（e为自然对数的底数，且e=2.71828…）使不等式2f(x)≥－x2+ax－3成立，求实数a的取值范围．
20．已知集合A={a1,a2,…,an}中的元素都是正整数，且a1＜a2＜…＜an，集合A具有性质P：对任意的x，y∈A且x≠y，有|x-y|≥xy25．
(1)判断集合{1,2,3,4}是否具有性质P；
(2)求证：1a1-1an≥n-125；
(3)求证：n≤9．
参考答案
一、填空题
1．｛x|0≤x<1｝
2．－12－32i
3．16.4
4．4
5．134
6．2
7．y=±2x
8．充分不必要
9．332
10．2x－y+3=0
11．(4,π)
12．④
13．5
14．65
二、解答题
15．（1）解：∵a=(sin θ，2),b=(cos θ,1),且a∥b，∴sin θ2=cos θ1，即sin θ=2cos θ.
∵sin2 θ+cos2 θ=1,θ∈(0,π2),解得sin θ=255,cos θ=55,
∴sinθ=255,cos θ=55.
（2）解:∵0＜ω＜π2，0＜θ＜π2，∴-π2＜θ-ω＜π2.∵sin(θ-ω)=35，
∴cos(θ-ω)=1-sin2(θ-ω)=45.
∴cos ω=cos[θ-(θ-ω)]=cos θcos (θ-ω)+sin θsin(θ-ω)=255.
16．（1）证明：在△ABD中，由于AD=2，BD=4，AB=25，∴AD2+BD2=AB2.
∴AD⊥BD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD平面ABCD，∴BD⊥平面PAD.
（2）解：过P作PO⊥AD交AD于O.又平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD．
∵△PAD是边长为2的等边三角形，∴PO=3.
由（1）知，AD⊥BD，在Rt△ABD中，
斜边AB边上的高为h=AD×BDAB=455.
∵AB∥DC，∴s△ACD=12CD×h=12×5×455=2.
∴VA-PCD=VP-ACD=13S△ACD×PO=13×2×3=233.
17．（1）解：由题意：2a=4，所以a=2．所求椭圆方程为x24+y2b2=1．
又点(1,32)在椭圆上，可得b2=1．所求椭圆方程为x24+y2=1．
（2）证明：由（1）知：A(－2,0),B(2,0)．设P(4,t)，M(xM,yM)．
则直线PA的方程为：y=t6(x+2)．由y=t6(x+2),x2+4y2=4,得(9+t2)x2+4t2x+4t2－36=0．
因为直线PA与椭圆相交于异于A的点M，所以－2+xM=－4t29+t2，所以xM=－2t2+189+t2．
由yM=t6(xM+2)，得yM=6t9+t2．所以M(－2t2+189+t2,6t9+t2)．
从而BM=(－4t29+t2,6t9+t2)，BP=(2,t)．所以BM•BP=－8t29+t2+6t29+t2=－2t29+t2<0．
又M,B,P三点不共线，所以∠MBP为钝角．所以△MBP为钝角三角形．
18．解：（1）由题意，得a1+3
（2）∵bn=1an•an+1=1(2n－1)(2n+1)=12(12n－1－12n+1)，
∴Sn=12［(1－13)+(13－15)+•••+(12n－1－12n+1)］=12(1－12n+1)=n2n+1．
∵S1=13，S2=25，Sm=m2m+1，S2为S1,Smm∈N的等比中项，
∴S22=SmS1，即252=13•m2m+1，解得m=12．
19．解：（1）由f(x)=xlnx，可得f′(x)=lnx+1，
当x∈(0,1e)时，f′(x)<0,f(x)单调递减；当x∈(1e,+∞)时，f′(x)>0,f(x)单调递增．
所以函数f(x)在［1,3］上单调递增．又f(1)=ln1=0，所以函数f(x)在［1,3］上的最小值为0．
（2）由题意知，2xlnx≥－x2+ax－3,则a≤2lnx+x+3x．
若存在x∈［1e,e］使不等式2f(x)≥－x2+ax－3成立，
只需a小于或等于2lnx+x+3x的最大值．
设h(x)=2lnx+x+3x(x>0)，则h′(x)=2x+1－3x2=(x+3)(x－1)x2．
当x∈［1e,1)时，h′(x)<0,h(x)单调递减；当x∈(1,e］时，h′(x)>0,h(x)单调递增．
由h(1e)=－2+1e+3e，h(e)=2+e+3e，h(1e)－h(e)=2e－2e－4>0，可得h(1e)>h(e)．
所以，当x∈［1e,e］时，h(x)的最大值为h(1e)=－2+1e+3e．故a≤－2+1e+3e.
20．(1)解：由于|1-2|≥1×225，|1-3|≥1×325，|1-4|≥1×425，
|2-3|≥2×325，|2-4|≥2×425，|3-4|≥3×425，
所以集合{1,2,3,4}具有性质P．
（2）证明：依题意有|ai-ai+1|≥aiai+125(i=1,2,…,n-1)，又a1＜a2＜…an，
因此ai+1-ai≥aiai+125(i=1,2,…,n-1)．可得1ai-1ai+1≥125(i=1,2,…,n-1)．
所以1a1-1a2+1a2-1a3+…+1ai-1ai+1+…+1an-1-1an≥n-125．即1a1-1an≥n-125．
（3）证明：由(2)可得1a1＞n-125．
又a1≥1，可得1＞n-125，因此n＜26．
同理1ai-1an≥n-i25(i=1,2,3,…,n-1)，可知1ai＞n-i25．
又ai≥i，可得1i＞n-i25，所以i(n-i)＜25(i=1,2,…,n-1)均成立．
当n≥10时，取i=5，则i(n-i)=5(n-5)≥25，可知n＜10．
又当n≤9时，i(n-i)≤(i+n-i2)2=(n2)2＜25．所以n≤9．