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【摘要】光栅衍射是波动光学中重要的教学内容，本文结合课堂教学实践，从加强教学效果和便于学生接受与理解的角度出发，用振幅矢量合成法来分析衍射明、暗条纹的产生及条纹特征，以期对光栅衍射教学提供一些有益的借鉴。
【关键词】光栅衍射 明暗条纹 矢量合成法
【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）35-0149-01
引言
在波动光学中，光栅衍射是非常重要的教学内容，它是光的干涉和衍射现象的综合反映，也是波动光学理论、技术、应用的典范，使学生加深理解和区分干涉和衍射的物理含义。本文结合教学实践，就光栅衍射教学中明、暗条纹的分布及条纹特征进行探讨。
1.光栅衍射定性分析
根据惠更斯—菲涅尔原理，光栅上每条缝产生强度相同彼此相干的子波光束。设想光栅上只留下一条缝，其余的全遮住，此时屏上会呈现单缝衍射条纹及光强分布，实际上，无论留下哪一条缝，屏上的单缝衍射条纹和光强分布都是一样的。当开两缝时，衍射光在屏上彼此完全重叠，注意：这种叠加是相干叠加。随着缝数增加，干涉条纹变得越来越细锐，由于参与多缝干涉的每一束光线都是单缝所产生的衍射光，因此，多缝干涉光强分布，必然受单缝衍射光强分布的调制。所以光栅衍射实际上是光栅每条单缝的衍射光再进行相干叠加而产生的，以上是光栅衍射的定性分析。
2.光栅衍射明、暗纹定量分析
对光栅衍射明、暗纹公式的推导，运用振幅矢量合成法是比较合适的，学生对矢量多边形加法比较熟悉，且矢量画图形象直观。平行光垂直照射N条缝的光栅，每条缝沿各方向衍射光强度是一样的，设衍射角为？兹的一组平行光在Q点相干叠加，其合振幅等于N条子波在该点光振幅矢量之和。因此，可利用矢量多边形法分析N条子波的相干叠加，不涉及复杂的数学运算，不需计算合矢量大小，只需判断什么情况下合矢量的模最大或最小，直观简单，学生容易理解。
相干叠加结果取决于光程差，光栅上相邻两缝光束光程差为d sin？兹，d为光栅常数，相应的相位差为？啄=2？仔d sin ？兹/？姿，任意相邻两缝光束光程差和相位差都相等。多缝干涉结果可用N个相位差相同、振幅大小相等的光振幅矢量叠加表示，也就是说：Q点光波合振幅A可表示为N个光振幅为A0的矢量之和。由矢量多边形加法，将N个矢量依次首尾相连做出矢量图，如图1所示，相邻两矢量夹角等于相位差？啄，从第一个矢量始端指向最后一个矢量末端的有向线段就是合矢量，显然當？啄=2k？仔时，A=NA0，此时合振幅最大，多缝干涉加强产生主极大明纹。由？啄=2k？仔可得到下式：
d sin ？兹=k？姿 k=0，±1，±2… （1）
图1 主极大明纹形成 图2光栅暗纹的形成
这就是光栅方程，表明光栅上任意相邻两缝光束的光程差都满足了相干加强的条件，此时合振幅最大，产生主极大明纹。
再分析多缝干涉暗纹情况，暗纹即光振幅合矢量为零。衍射角为？兹时，相位差为？啄=2？仔d sin？兹/？姿由矢量合成图2可知，当N个矢量依次首尾相连形成一个闭合多边形时，合矢量大小为零， 也就是N个光振幅合成为形成暗纹。形成闭合多边形时，夹角N？啄必然等于2？仔整数倍。因此，产生暗纹条件是：
N（a+b）sin ？兹=m？姿 m=±1，±2…，m≠kN （2）
公式中m取值要注意：原则上m取任意整数，但当m等于N 的整数倍时，暗纹公式将变成明纹的光栅方程，因此，m应取不等于kN 的整数。由m取值可知，在0 、N 两个主极大明纹之间，m取N -1个值，说明在两相邻主极大明纹之间存在N -1个暗纹。条纹是明暗相间的，N-1条暗纹之间必有N-2条次极大明纹，次极大明纹的光强远小于主极大明纹。
3.衍射条纹特征解释
根据光栅衍射明、暗条纹公式，可以解释条纹 “细、亮、疏”的特点。“细”体现在主极大明纹半角宽度上，设k级主极大明纹衍射角为？兹k，k级明纹外侧相邻暗纹对应的衍射角为？兹k+△？兹k，k级明纹和相邻暗纹对应的衍射角之差称为k级明纹的半角宽度，用△？兹k表示，△？兹k大小就决定明纹的“细”度。主极大明纹衍射角满足光栅方程，而暗纹衍射角？兹k+△？兹k满足暗纹公式，则有：
d sin ？兹k=k？姿 （3）
Nd sin（？兹k+△？兹k）=m？姿=（kN+1）？姿 （4）
（4）式中m取多少呢？，？兹k+△？兹k略大于？兹k，式中右边应略大于Nk？姿，m 取整数，显然，m=kN+1，两式联立求解，可得半角宽度：
△？兹k=■ （5）
显然，缝数N越大，△？兹k越小，谱线也越“细”。再看“亮”，“亮”体现在明纹强度上，主极大明纹合振幅为A=NA0，光强与振幅平方成正比，即I=N2I0，其光强是单缝在该方向衍射光强的N2倍，因此，主极大明纹显得很“亮”。 “疏”体现在主极大明纹的间距上，考查相邻k和k+1级主极大明纹，设k级明纹对应衍射角为？兹k，k+1级明纹对应的为？兹k+1，则有：d sin ？兹k=k？姿和d sin ？兹k+1=（k+1）？姿成立，两式联立得：
sin ？兹k+1-sin ？兹k=■ （6）
由（6）式可知，光栅常数d越小，衍射角分得越开，条纹间距越大，分布就越稀“疏”。以上分析圆满解释了光栅衍射条纹“细、亮、疏”的特点，这种特征有利于光波波长的精确测量，光谱分析中的光谱仪就是基于光栅衍射的原理制成的。
结束语
运用振幅矢量合成法求光栅衍射的明、暗纹公式不涉及过多的数学运算，借助矢量画图分析明、暗纹的形成条件，只需判断什么情况下合矢量的模为最大或最小即可，非常直观和简单，使学生更加易于理解和掌握明、暗纹公式及条纹的特征，从而取得良好的教学效果。
参考文献：
[1]马文蔚等， 物理学[M]，北京：高等教育出版社，2015.
[2]吴百诗， 大学物理[M]，西安交通大学出版社，2009.
【关键词】光栅衍射 明暗条纹 矢量合成法
【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）35-0149-01
引言
在波动光学中，光栅衍射是非常重要的教学内容，它是光的干涉和衍射现象的综合反映，也是波动光学理论、技术、应用的典范，使学生加深理解和区分干涉和衍射的物理含义。本文结合教学实践，就光栅衍射教学中明、暗条纹的分布及条纹特征进行探讨。
1.光栅衍射定性分析
根据惠更斯—菲涅尔原理，光栅上每条缝产生强度相同彼此相干的子波光束。设想光栅上只留下一条缝，其余的全遮住，此时屏上会呈现单缝衍射条纹及光强分布，实际上，无论留下哪一条缝，屏上的单缝衍射条纹和光强分布都是一样的。当开两缝时，衍射光在屏上彼此完全重叠，注意：这种叠加是相干叠加。随着缝数增加，干涉条纹变得越来越细锐，由于参与多缝干涉的每一束光线都是单缝所产生的衍射光，因此，多缝干涉光强分布，必然受单缝衍射光强分布的调制。所以光栅衍射实际上是光栅每条单缝的衍射光再进行相干叠加而产生的，以上是光栅衍射的定性分析。
2.光栅衍射明、暗纹定量分析
对光栅衍射明、暗纹公式的推导，运用振幅矢量合成法是比较合适的，学生对矢量多边形加法比较熟悉，且矢量画图形象直观。平行光垂直照射N条缝的光栅，每条缝沿各方向衍射光强度是一样的，设衍射角为？兹的一组平行光在Q点相干叠加，其合振幅等于N条子波在该点光振幅矢量之和。因此，可利用矢量多边形法分析N条子波的相干叠加，不涉及复杂的数学运算，不需计算合矢量大小，只需判断什么情况下合矢量的模最大或最小，直观简单，学生容易理解。
相干叠加结果取决于光程差，光栅上相邻两缝光束光程差为d sin？兹，d为光栅常数，相应的相位差为？啄=2？仔d sin ？兹/？姿，任意相邻两缝光束光程差和相位差都相等。多缝干涉结果可用N个相位差相同、振幅大小相等的光振幅矢量叠加表示，也就是说：Q点光波合振幅A可表示为N个光振幅为A0的矢量之和。由矢量多边形加法，将N个矢量依次首尾相连做出矢量图，如图1所示，相邻两矢量夹角等于相位差？啄，从第一个矢量始端指向最后一个矢量末端的有向线段就是合矢量，显然當？啄=2k？仔时，A=NA0，此时合振幅最大，多缝干涉加强产生主极大明纹。由？啄=2k？仔可得到下式：
d sin ？兹=k？姿 k=0，±1，±2… （1）
图1 主极大明纹形成 图2光栅暗纹的形成
这就是光栅方程，表明光栅上任意相邻两缝光束的光程差都满足了相干加强的条件，此时合振幅最大，产生主极大明纹。
再分析多缝干涉暗纹情况，暗纹即光振幅合矢量为零。衍射角为？兹时，相位差为？啄=2？仔d sin？兹/？姿由矢量合成图2可知，当N个矢量依次首尾相连形成一个闭合多边形时，合矢量大小为零， 也就是N个光振幅合成为形成暗纹。形成闭合多边形时，夹角N？啄必然等于2？仔整数倍。因此，产生暗纹条件是：
N（a+b）sin ？兹=m？姿 m=±1，±2…，m≠kN （2）
公式中m取值要注意：原则上m取任意整数，但当m等于N 的整数倍时，暗纹公式将变成明纹的光栅方程，因此，m应取不等于kN 的整数。由m取值可知，在0 、N 两个主极大明纹之间，m取N -1个值，说明在两相邻主极大明纹之间存在N -1个暗纹。条纹是明暗相间的，N-1条暗纹之间必有N-2条次极大明纹，次极大明纹的光强远小于主极大明纹。
3.衍射条纹特征解释
根据光栅衍射明、暗条纹公式，可以解释条纹 “细、亮、疏”的特点。“细”体现在主极大明纹半角宽度上，设k级主极大明纹衍射角为？兹k，k级明纹外侧相邻暗纹对应的衍射角为？兹k+△？兹k，k级明纹和相邻暗纹对应的衍射角之差称为k级明纹的半角宽度，用△？兹k表示，△？兹k大小就决定明纹的“细”度。主极大明纹衍射角满足光栅方程，而暗纹衍射角？兹k+△？兹k满足暗纹公式，则有：
d sin ？兹k=k？姿 （3）
Nd sin（？兹k+△？兹k）=m？姿=（kN+1）？姿 （4）
（4）式中m取多少呢？，？兹k+△？兹k略大于？兹k，式中右边应略大于Nk？姿，m 取整数，显然，m=kN+1，两式联立求解，可得半角宽度：
△？兹k=■ （5）
显然，缝数N越大，△？兹k越小，谱线也越“细”。再看“亮”，“亮”体现在明纹强度上，主极大明纹合振幅为A=NA0，光强与振幅平方成正比，即I=N2I0，其光强是单缝在该方向衍射光强的N2倍，因此，主极大明纹显得很“亮”。 “疏”体现在主极大明纹的间距上，考查相邻k和k+1级主极大明纹，设k级明纹对应衍射角为？兹k，k+1级明纹对应的为？兹k+1，则有：d sin ？兹k=k？姿和d sin ？兹k+1=（k+1）？姿成立，两式联立得：
sin ？兹k+1-sin ？兹k=■ （6）
由（6）式可知，光栅常数d越小，衍射角分得越开，条纹间距越大，分布就越稀“疏”。以上分析圆满解释了光栅衍射条纹“细、亮、疏”的特点，这种特征有利于光波波长的精确测量，光谱分析中的光谱仪就是基于光栅衍射的原理制成的。
结束语
运用振幅矢量合成法求光栅衍射的明、暗纹公式不涉及过多的数学运算，借助矢量画图分析明、暗纹的形成条件，只需判断什么情况下合矢量的模为最大或最小即可，非常直观和简单，使学生更加易于理解和掌握明、暗纹公式及条纹的特征，从而取得良好的教学效果。
参考文献：
[1]马文蔚等， 物理学[M]，北京：高等教育出版社，2015.
[2]吴百诗， 大学物理[M]，西安交通大学出版社，2009.