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本文作为群交叉积的推广,主要进行了两个方面的研究:一方面是构造了G(×)π-交叉积,随之建立Hopf G(×)π-余代数;另一方面是将一般的群交叉积对偶理论推广到G(×)π-交叉积中来,给出相应的对偶理论.本篇文章的具体安排如下;
首先,令A={Ag}g∈G和H={Hα}α∈π为两个Hopf群余代数,其中G和π为两个离散群,仿照群交叉积定义的一般思路,给出了H={Hα}α∈π在A={Ag}g∈G上的弱作用:Hα(×)Ag→Ag,其中α∈π,g∈G,定义了σ={σg)g∈G线性映射σg:H1π(×)H1π→Ag,类似于—般群交叉积乘法的定义,从而把G(×)π-交叉积的乘法定义为:
M(g,α):(α(×)h)(b(×)g)=α(h(1,1π)·b)σg(h(2,1π),g(1,1π))(×)h(3,α)9(2,α)
其中α∈π,g∈G,11G(×)11π为单位,建立了Hopf群余代数上的G(×)π-交叉积,并进一步给出了GA(×)πσH={Ag(×)Hα}(g∈G,α∈π)构成G(×)π-交叉积的充要条件.
其次,通过定义给出了G(×)π-交叉积GA＃πσH={Ag#σgHα}(g∈G,α∈π)的余乘△={△(g,z)(g1,β)}(g,g1∈G,α,β∈π)和余单位ε=S(1G,1π)=ε1G(×)ε1π:△(g,α)(g,β):Agg#σggHαβ→(Ag#σgHα)(×)(Ag#σgHβ)α#σggh→(α(1,g)#σgh(1α))(×)(α(2,g)#σgh(2,β))ε(1G,1π):A1G#σ1GH1π→k并进一步给出了GA#πσH={Ag#σgHα)(g∈G,α∈π)构成半Hopf G(×)π-余代数的充要条件.
再次,对半Hopf G(×)π-余代数进一步探索,在其上定义了对极S=S(g,α)(9∈G,α∈π)具体形式如下:
S(g,α):Ag#σgHα→Ag-1#σg-1Hα-1,α#σgh→(Sg-1(σg-1(S1π(h(2,1π)),h(3,1π)))#σg-1Sα(h(1,α)))(Sg(α)#σg-11α-1)使之成为Hopf G(×)π-余代数,又进一步得出了Hopf G(×)π-余代数与Hopf群余代数A={Ag}g∈G和H={Hα}α∈π之间的关系.
最后,依据模代数的有关知识,通过构造映射αg,βg:αg:(Ag#σgHα)#H*1→End(Ag#σgHα)gPg((x#σgh)#f)(y#σg))=(x#σgh)y#σgf→g)=(x#σgh)(y#σgg(1,α))βg:End(Ag#σgHα)g→(Ag#σgHα)#H*1πβg:T→Σi[T(σg-1(fi(3,1),S-11π(fi(3,1)))#σgfi(4,α))1g#σgSα-1(fi(1,α-1))]#ψi从而把一般的交叉积对偶理论推广到G(×)π-交叉积中来.