圈量子引力是一个具有微分同胚不变性并且不依赖于时空背景的量子引力理论。最近几年来，由Bojowald等人开创的圈量子宇宙学取得了一些成功，比如说，量子几何的离散性使得大爆炸奇点问题在圈量子宇宙学框架下得到解决。从天文观测可以知道，宇宙在大尺度上具有很好的均匀性和各向同性。圈量子宇宙学是引力联络动力学理论在对称约化以后做量子化的一个产物。圈量子宇宙学同时是一个量子力学系统，但不使用Schrodinger表示，而需要使用Polymer。表示。量子几何本质上的离散性会导致一定的物理学效应。 本文第一章综述了圈量子宇宙和Polymer量子力学。第二章则综述了一系列我们需要用到的数学物理方法，其中包括Poisson求和以及最陡下降法等等。本文第三章首先计算了Ashtekar等人新构造的引力场哈密顿约束算子在相干态下的期待值。在第三章还构造了具有统计系综意义上Poisson权重的一系列半经典态。本文最后计算了该半经典态下纯引力哈密顿约束算子的期待值。