对偶模(Dualizing Module)是由Grothendieck于1967年在交换Noether环上引入的.这一概念在交换代数和代数几何领域，特别是在代数和群的表示理论中有着广泛的应用.然而，只有在一些特殊的环上才存在对偶模，如局部Gorenstein环、局部Artinian环等.而半对偶模作为对偶模的推广，在一般环上是大量存在的.因此，半对偶模以及相关模类近些年来受到了许多学者的广泛关注.本文将在前人的工作基础上，围绕与半对偶模相关的相对同调和Tate同调展开研究.　　第二章首先凭借有有限X-投射维数的模M的严格WX-分解定义了相对同调函子TorXM(M，-)，这里X表示一个模范畴的关于扩张封闭的子范畴并且存在一个内射余生成子W.证明了关于这种相对Tor-函子的平衡性结果.它包含了Emmanouil的关于Gorenstein投射模的“Gorenstein”Tor-函子的平衡性结果，改进了Holm的关于Gorenstein平坦模的平衡性结果.其次，考虑了与半对偶模C相关的子范畴的相对同调函子，如TorGPCM（-，-）与TorGFCM（-，-），其中GPC与GF分别表示所有GC-投射与GC-平坦模构成的子范畴.作为这一平衡性结果的应用，在存在对偶模D的Cohen-Macaulay环上，通过使用与半对偶模C(t)=HomR(C，D)相关的分解，得到了对应于TorGPCM（-，-）与TorGFCM（-，-）的平衡性结果.　　第三章首先引入了WF-Gorenstein模的概念，揭示了它与GC-平坦模之间的关系，并且证明了如下的Foxby等价:G（F）∩ACC(×)R-→←HomR(C,-)G（FC），　　其中G（F），AC与G（FC）分别表示所有Gorenstein平坦模构成的类，Auslander类与所有WF-Gorenstein模构成的类.这个结果从一个新的角度加细了经典的关于Auslander类和Bass类的Foxby等价.其次，定义了二次WF-Gorenstein模.称模M是二次WF-Gorenstein的，如果存在G（FC）中的正合序列G·=…→G1→G0→G-1→G-2→…使得M≌Im(G0→G-1)，且G.是HomR(G(FC)，-）-与G（FC）*(×)R--正合的.在GF-封闭环上证明了这种模类和WF-Gorenstein模类是一样的.推广了Yang和Bouchiba的关于Gorenstein平坦模类的相应结论.　　第四章在交换凝聚环上首先定义并研究了模的Tate FC-分解，证明了存在Tate FC-分解的模类等于所有G（FC）-投射维数有限的模构成的类.其次，凭借模的Tate FC-分解，定义了Tate同调函子(Tor)GCM（-，-），得到了如下联结这种Tate同调函子和相对同调函子的“A-M型正合序列”:0→(Tor)GCM g→Tor FCM g→TorG(FC)M g→…→(Tor)GCM1→TorFCM1→TorG(FC)M1→0，其中凭借第一个变量的真FC-分解导出于张量积函子的相对同调函子TorFCM（-，-）是由Salimi等在2012年引入.上述函子的正合序列为TorFCM（-，-）的研究提供了新的框架.最后，借助于Enochs等给我们提供的有利工具，通过使用与半对偶模C(t)相关的分解得到了关于这种Tate同调的平衡性结果.　　第五章在Abel范畴A上引入了相对于子范畴x的相对导出范畴D*X(S)这一概念，其中*∈{blank，-，b}，S是A的另一个关于直和项封闭的子范畴.通过复形构造的办法证明了如下三角范畴的等价:K-(X)≌D-X(res(X)).当X=G（P）时，这个结果将Gao和Zhang建立的关于Gorenstein投射导出范畴的三角等价Kb(G(P))≌Db G(P)(res(G(P)))推广到了下有界的情形，这里resg(P)表示A中所有Gorenstein投射维数有限的对象构成的子范畴.此外，本章证明了相对上同调群ExtxA(M，N)同构于相对导出范畴里对象M与N之间的所有态射构成的Abel群.从而，为之给出了一个新的解释.作为应用，本章凭借相对导出范畴里的方法，得到了一个联结与半对偶模相关的相对上同调函子和Tate上同调函子的“A-M型正合序列”.