调和映射是几何分析中一类重要的研究对象．调和映射的存在性问题是几何分析中有意义而又非常困难的问题．研究两个流形之间的调和映射的存在性问题是研究调和映射存在性问题最重要和最有意义的方面之一．一般来讲，它分为两大类：一类是有限维黎曼流形之间的调和映射存在性；另一类是无限维流形之间的调和映射存在性．而对于有限维黎曼流形之间的调和映射存在性，我们又分为两种情况：一种是无边流形；另一种是带边流形．对于带边流形，如果我们根据调和映射的定义，直接运用变分的技巧来解决它们之间的调和映射的存在性是不行的．这种方法只能对一些特殊的流形适用，比如S<1>[2]．因为对于S<1>来说，它所对应的调和映射是闭测地线．测地线方程在TN上是一个线性的常微分方程系统，而对于一般的调和映射方程来说，它是一个非线性的偏微分方程系统．为了解决这个问题，Eells和Sampson在1964年引进了一种称为热流的方法[1]．它被认为是调和映射存在性理论中最基本的理论． 本文主要阐述了Eells和Sampson的思想，并根据自己的理解详细解释了Eells和Sampson在1964对他们的定理的证明过程．文章要证明的定理如下： 定理4．1．(Eells—Sampson)设(M，g)和(N，h)是两个紧的黎曼流形，假设(N，h)的截面曲率K<,N>是非正的，则对任意的f∈C<∞>(M，N)，都存在一个调和映射μ<,∞>：M→N，使得f能连续形变到μ<,∞>． 文章主要分为两部分：第一部分，文章根据调和映射的定义推导出调和映射的方程，并列举了两个特殊流形之间的调和映射；第二部分，文章首先根据前面的两个例子提出了两个带边流形之间的调和映射的存在性问题，接着着重阐述了Eells和Sampson的思想——热流法，即将调和映射的存在性问题转化成一个非线性抛物微分方程系统的初值问题，并从解的存在性和收敛性两个方面来证明该初值问题，然后，文章在假设解的存在性成立的条件下，利用WeitenbOck公式证明在证明存在性时，文章又分为两部分： 第一部分证明局部解的存在性：文章根据Nash嵌入定理[7]，将研究一个抛物型微分方程系统的初值问题转化成向量值函数的初值问题．接着，运用Banach空间的逆函数定理证明了向量值函数的初值问题，从而证明了局部解的存在性． 第二部分证明整体解的存在性：文章在假设K<,N>≤0的情况下，运用Wreitzenbock公式，得到了关于调和映射方程的初值解u的估计，并运用线性抛物型偏微分方程的解的Schauder估计[6]，得到u的一致估计，从而证明整体解的存在性． 这样，我们就完整地证明了Eells和Sampson的定理． 类似地，我们可以研究两个复流形之问的解析映射．特别地，当两个Kohler流形之间的解析映射是调和映射时，我们可以利用调和映射的观点。事实上，利用Eells利Sampson的定理和热流法，Siu[10]，[11]在1980年证明关于负曲率Kahler流形上的复结构之间的刚性定理．