对一个简单无向图G,它的能量(G)定义为对应邻接矩阵的所有特征值的绝对值之和。图能量和化学有着非常密切的关系,特别是图的特征值和共轭碳氢化合物中π-电子的分子轨道能量之间存在着紧密对应。自1977年Gutman提出图能量的概念后,就引起了很多理论化学家和数学家的关注。尤其是2000年以后,图能量更是得到了长足发展,大量论文发表在各类数学化学期刊上。除了图能量,一些其他类型的能量也在数学上被提出,其中非常重要的一个就是有向图的斜能量,它定义为有向图斜邻接矩阵的特征值的模之和。在图能量和斜能量的研究中,我们遇到的一个基本问题,就是在给定的图类中确定哪些图具有极大或极小能量。本文完全解决了关于给定最大顶点度的树的两个极大能量问题,对有向图的极值问题,也给出了非常好的结果。第一章是引言,我们首先给出了文中涉及的基本概念和相关知识,然后介绍了图能量和斜能量的相关背景,最后列出了这篇论文的主要结果。第二章给出了本文涉及到的一些预备知识,包括：特征多项式,Coulson积分公式以及关于无符号匹配多项式的主要引理。在接下来的两章中,我们研究一类非常重要的图,树。2009年,李学良等人证明了在所有n个顶点并且其中两个顶点具有最大度△的树中,瓦(△,t)或者死(△,t)具有极大能量。其中死(△,t)(简写为死)表示在路B的两个端点处各连接△一1个p2后得到的树,死(△,t)(简写为死)表示在路另+2的一个端点处连接△一1个恳,在这个端点的邻点处连接△一2个P2后得到的树,此处△≥3,t=n+4－4△≥3。但是他们不能确定到底是死还是乃更大一些,因为之前常用的拟序比较方法在这里失效了。在第三章中,我们创造性地将无符号匹配多项式引入图能量的Coulson积分公式,结合分析和代数方法,成功地解决了这一问题。我们证明对所有△≥7,t≥3的情况,极大能量树是死,对△=3,t≥3的情况,极大能量树是死。此外,如果△=4,除了t=4时极大能量树为死,其他情况下都为乃。对△=5,在t为3到89之间的奇数时,极大能量树为瓦,其他情况下为死。△=6时,只有t=3,5,7这三种情况下极大能量树为瓦,其余情况均为死。很明显可以看出,对大部分情况,Tb我们要找的极大能量树,△=5是一个转折点,△=3,4是特殊情况。这也就意味着,对所有的化学树(最大度至多为4的树),除了Ta4,4)之外,Ta是极大能量树。在第四章中,我们类似地定义具有一个最大度顶点一个次最大度顶点的树。令Tf(d1,d2,t)(简写Pt)表示在路Pt的一个端点处连接d1-1个p2,另一个端点处连接d2一1个恐后得到的树,%(d1,d2,t)(简写为T8)表示在路Pt+2的一个端点处连接d1-1个P2,在这个端点的邻点处连接d2-1个最后得到的树,其中d1>d2≥3,t≥3。姚祥妹在2010年证明了对所有n个顶点,其中两个顶点分别具有最大度d1和次最大度d2的树,Tf或者T8具有极大能量。但是确定到底是Tf还是T8更大一些仍是一个难题。上述问题涉及更多变量,因此其证明更加困难。我们巧妙地利用两个变量的差简化计算,配合使用分析和代数方法,完全解决了这个问题。我们证明了对d1≥7,d2≥3或者d1=6,d2=3的情况,T8是极大能量树。如果d1=4且d2=3,当t=4时T8具有极大能量,其余情况Tf具有极大能量。对于剩下的情况,当(i)d1=5,d2=4,t是3到45之间的奇数；(ii)d1=5,d2=3,t是3到29之间的奇数；(iii)dl=6,d2=5,t=3,5,7；(iv)dl=6,比=4,t=5的时候,极大能量树为Tf,其余情况为T8。最后一章给出了关于有向图的斜能量的一些研究结果。令方。表示具有n个顶点,不包含偶圈的有向图,方n,m表示方n中边数为m的图类,我们确定了方n和方n,m研一1≤m≤主@一1))这两类图中的极小斜能量有向图,并且得到了方M以及方M+1(n为偶数)中的极大斜能量有向图。