【摘 要】
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本文主要研究调和分析在高阶Helmholtz方程的Lp-L2估计中的应用,首先讨论了著名的限制性定理的发展以及其在色散方程中的应用,并对经典的Helmholtz方程解的L2估计进行了回顾,运用插值定理、振荡积分、分数次积分等主要技术手段,研究了 Helmholtz方程的色散估计,将二阶情形推广到更一般的高阶情形,最后,给出了高阶情形下Helmholtz方程解的L2估计的证明和结果。本篇硕士论文主要
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本文主要研究调和分析在高阶Helmholtz方程的Lp-L2估计中的应用,首先讨论了著名的限制性定理的发展以及其在色散方程中的应用,并对经典的Helmholtz方程解的L2估计进行了回顾,运用插值定理、振荡积分、分数次积分等主要技术手段,研究了 Helmholtz方程的色散估计,将二阶情形推广到更一般的高阶情形,最后,给出了高阶情形下Helmholtz方程解的L2估计的证明和结果。本篇硕士论文主要分为三章。第一章介绍了 Helmholtz方程解的L2估计的背景及研究现状,并给出本文的研究内容。第二章包含了预备知识、限制性理论以及其在色散方程中的应用和已有的二阶Helmholtz方程解的L2估计的相关概述,这些为高阶情形的研究提供了思路和途径。第三章是本文主要结果的陈述和证明,研究了将Helmholtz方程解的L2估计推广到更一般的高阶情形。通过Fourier变换将问题导到定义在球面上的卷积算子,借助于稳相法得到曲面上测度的Fourier变换的衰减估计,并通过分数次积分和Littlewood-Paley理论等调和分析基本工具对问题进行处理,最后利用插值定理和Hardy-Littlewood-Sobolev不等式,得到了高阶Helmholtz方程的Lp-L2估计结果。
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