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在应用科学和工程技术中,许多问题的研究最后都归结为求解一个或多个线性代数方程组.一般针对不同类型的线性方程组,采用不同的迭代方法求解.近年有学者指出,当线性方程组的系数矩阵为Hermite正定矩阵时,可以采用GAOR迭代法进行求解.解线性方程组的GAOR迭代法的敛散性问题的研究,可以归结于对迭代矩阵的谱半径与1的大小关系的研究.若谱半径小于1,则迭代法收敛,反之则发散.本文第一章首先分两种情况对GAOR迭代法的迭代矩阵进行了相似替换,使得之后对GAOR迭代法的敛散性的研究更为方便.本文第二章首先介绍了 Householder-John定理,之后利用该定理给出了线性方程组的系数矩阵为Hermite正定矩阵这一条件下GAOR迭代法的收敛条件.只要迭代参数满足所得结论,GAOR迭代法一定收敛.最后,用具体的算例验证了本章所得结论的正确性.相比以往所得结论,本章结论更为完善.第二章所得结论只是针对Hermite正定矩阵,对于Hermite负定矩阵并不适用.为了研究线性方程组的系数矩阵为Hermite负定矩阵条件下GAOR迭代法的敛散性,本文第三章首先对Householder-John定理进行了推广,基于矩阵分裂A = M-N,证明了在MH+ N为负定矩阵条件下,A为Hermite负定矩阵是矩阵M-1N的谱半径ρM-1N)<1的充分必要条件.其次,利用该推广定理分两种情况,给出了线性方程组的系数矩阵为Hermite负定矩阵这一条件下GAOR迭代法的收敛条件.最后,用具体的算例验证了本章所得结论的有效性.矩阵理论中有许多具有特殊结构或性质的矩阵,如三对角矩阵,严格对角占优矩阵以及前两章所提到的Hermite正、负定矩阵等.对于这类特殊矩阵,我们往往会关注它们的子矩阵或有关矩阵是否仍然具有原来矩阵的特殊结构或性质.由已有研究可知,Hermite正定矩阵的Schur补仍然是Hermite正定矩阵.本文第四章则在Schur补的基础上增加正弦参数,引入正弦-Schur补,并证明Hermite正定矩阵的正弦-Schur补仍然保持矩阵本身的正定性不变.之后又增加与原矩阵的子矩阵相关的限制条件,由正弦-Schur补的性质推导了矩阵本身的性质,得到了矩阵本身的正定性.与Hermite正定矩阵类似,Hermite负定矩阵也是矩阵理论中一类非常重要的矩阵.本文第五章即研究了 Hermite负定矩阵的正弦-Schur补的负定性,同时,增加相关限制条件,由矩阵的正弦-Schur补的负定性得到了矩阵本身的负定性.最后,用恰当例子说明了结论的合理性和有效性.