p型和h-p型有限元法的数学理论已经完整建立,为p型和h-p型有限元法的数值模拟提供了坚实的理论基础。同时,p型和h-p型有限元法不仅能够有效地提高数值解的收敛速度,还能保证数值计算的精度。p型和h-p型有限元在数学方面的研究内容较为丰富,然而,相比经典的h型有限元法,p型和h-p型有限元法在工程实际中的应用研究相对较少,特别是在断裂力学领域的应用研究就更少。值得注意的是,p型、h-p型有限元法的收敛速率明显优于经典的h型有限元法。在一些问题中,如奇异性问题,可以得到指数级的收敛速率。断裂问题是典型的奇异(线弹性断裂)或高梯度(粘性或韧性断裂)问题,采用p型和h-p型有限元法能更加高效的处理这类问题。本文主要研究了p型有限元法在二维断裂问题中的应用,分为以下两个部分:首先,将p型有限元法应用于模拟几个经典的裂纹开裂问题,分析不同尺寸、不同角度以及应力集中区域中的裂纹。采用p型有限元法模拟裂纹开裂,并根据得到的位移场和应力场结合围线积分法导出复合型应力强度因子。采用较少的网格,通过合理地划分网格可以在较低的自由度下获得较高的精度。采用相近的网格参数,裂纹在不同尺寸、不同角度以及在应力集中区域的不同位置上,得到的数值解都表现出较高的精度和良好的数值稳定性。在斜裂纹模型中,对比了文献中采用在裂纹尖端富集了高阶渐近位移解的扩展有限元法导出的结果,文中的结果精度高且误差波动较小。其次,由于阶谱形状函数是多项式结构的,其逼近空间的性质是连续且光滑的。在处理不连续问题时,需要网格与不连续几何保持一致。为了能够使得在模拟不连续演变时无需重新划分网格来适应不连续的界面,节约计算成本,文中结合了时下处理不连续问题非常流行的扩展有限元法,在二维四边形阶谱单元中扩充了富集阶跃函数的不连续项。新的四边形阶谱单元实现了在单元内部描述不连续的界面,同时保留了p型有限元法能够通过提升插值多项式阶次提高计算精度的能力。结果表明,p型有限元法处理断裂问题时网格划分少、精度高、数值稳定性强。结合了扩展有限元法的p型有限元法在处理不连续问题时继承了两者的优点,具有很好的研究前景和应用价值。