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本文的主要内容有两个部分，分三章。第一部分包括第二章和第三章，分别研究了二阶椭圆方程中做先验估计的两种方法—下解方法和P-函数方法。第二章以四元数Monge-Ampère方程的Dirichlet问题为例，利用下解方法我们推导出解在一般区域上的先验估计，并以此得到一个存在性定理。从而，我们可以回答S.Alesker在文献[4]中提出的第四个问题.第三章主要考虑三维Minkowski空间中常平均曲率方程的Dirichlet问题。基于解的临界点的唯一性，我们利用P-函数方法改进文献[14]中的梯度估计，从而，获得解的高度估计。最后，在本文的第二部分（即第四章），我们集中讨论双曲空间中的浸入超曲面和球的区域上共形度量之间的关系，并将文献[17]中的整体对应关系推广至二维。作为应用，我们得到一个Liouville型定理和一个新的更强的Bernstein型定理。