【摘 要】
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图的控制理论是图论中发展迅速、应用广泛的重要分支之一。图的控制理论研究的问题大多是从实际问题中抽象出来的,因此,对图的控制数问题的深入研究可以为人们解决实际问题提供更夯实的理论基础。确定图的控制数及估计控制数的上下界是图的控制理论中比较重要的问题。罗马控制问题起源于古罗马帝国时期的军事防御问题,多重罗马控制(m重罗马控制)是罗马控制的推广。本文研究的是当m=2,3时广义Petersen图P(n,k
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图的控制理论是图论中发展迅速、应用广泛的重要分支之一。图的控制理论研究的问题大多是从实际问题中抽象出来的,因此,对图的控制数问题的深入研究可以为人们解决实际问题提供更夯实的理论基础。确定图的控制数及估计控制数的上下界是图的控制理论中比较重要的问题。罗马控制问题起源于古罗马帝国时期的军事防御问题,多重罗马控制(m重罗马控制)是罗马控制的推广。本文研究的是当m=2,3时广义Petersen图P(n,k)的m重罗马控制数。当m=2时,m重罗马控制称为双罗马控制。根据广义Petersen图P(n,k)的特点,设计一种有效的算法,根据算法构造出可递推的双罗马控制函数,得到了P(n,k)(k≥3)双罗马控制数的上界。结合前人给出的双罗马控制数的下界,确定了当n≡0(mod 4),k≡1(mod 2)时P(n,k)(k≥ 3)双罗马控制数的精确值。对n(?)0(mod 4)或k(?)1(mod2)时的情况,给出了P(n,k)(k≥3)双罗马控制数的界。证明了当且仅当n三0(mod 4)时,P(n,3)是双罗马图。当m=3时,m重罗马控制称为三重罗马控制。利用连通图顶点与边的关系证明了任意连通图的三重罗马控制数的下界。通过构造可递推的三重罗马控制函数,计算出P(n,1)的三重罗马控制数的上界,利用组合法证明出其下界,确定了 P(n,1)的三重罗马控制数的精确值。通过构造可递推的三重罗马控制函数,得到了广义Petersen图P(n,k)(k≥2)的三重罗马控制数的上界。结合已证明的三重罗马控制数的下界,确定了当n三0(mod 4),k≡1(mod 2)时P(n,k)(k≥2)三重罗马控制数的精确值。对n(?)0(mod 4)或k(?)1(mod2)时的情况,给出了P(n,k)(k≥2)三重罗马控制数的界。
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