【摘 要】
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神经网络是一种受人脑神经系统的工作方式启发而构造的数学模型.这些模型主要是通过对人脑的神经元网络进行抽象,构建人工神经元,并按照一定的拓扑结构来建立人工神经元之间的连接,来模拟生物神经网络.大量研究已经证明神经网络具有良好的逼近性质,随着近年来训练算法的发展,神经网络越来越广泛地被应用到各种各样的领域中去.保持插值性的神经网络能够提高网络的训练效率,本文主要研究了神经网络插值算子的构造以及逼近性质
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神经网络是一种受人脑神经系统的工作方式启发而构造的数学模型.这些模型主要是通过对人脑的神经元网络进行抽象,构建人工神经元,并按照一定的拓扑结构来建立人工神经元之间的连接,来模拟生物神经网络.大量研究已经证明神经网络具有良好的逼近性质,随着近年来训练算法的发展,神经网络越来越广泛地被应用到各种各样的领域中去.保持插值性的神经网络能够提高网络的训练效率,本文主要研究了神经网络插值算子的构造以及逼近性质,主要内容概括如下:第1章介绍了神经网络的研究背景和意义,着重梳理了神经网络的发展进程以及研究现状,给出了本文的研究内容和文章的构架,最后分条罗列了本文研究的创新之处.第2章指出了神经网络插值算子近来的部分研究成果中存在的问题,修正了这些问题,并为第三章的内容作铺垫.第3章通过将第二章提到的三角形激活函数积分的方法,得到光滑的斜坡函数,以此为基础构造前向神经网络算子,证明了该算子具有精确插值性.接着,建立了该算子对连续函数逼近的正定理.对算子的导数做出估计之后,再借助K-泛函,Berens-Lorentz引理等工具,建立了该算子逼近的逆定理.最后,为了提高对光滑函数的逼近效果,进一步提出了上述神经网络算子的一种线性组合,证明了该组合具有对目标函数及其导数的插值性,在连续函数空间内建立了其对目标函数逼近的整体估计和同时逼近定理.第4章定义了一类激活函数A（m）,以此为基础构造了一种具有插值性的单隐层前向神经网络算子.在连续函数空间内,建立了该算子逼近的正定理.随后,通过对激活函数A（m）添加一些光滑性假设,用与上一章类似的方法,进一步建立了逼近的逆定理.为了提高对光滑函数的逼近效果,在上述算子的基础上,介绍了一种线性组合,该组合可被视作双隐层神经网络算子.证明了该组合具有对目标函数及其各阶导数的插值性.接着,建立了该组合对目标函数的同时逼近定理.最后,为了建立Lp空间上的结论,引入了上述算子的Kantorovich变形,证明Lp空间上逼近的正、逆定理.第5章对本学位论文的主要成果进行总结,并提出有待进一步研究的问题.
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