本文主要内容是对无稳定子格式的弱有限元方法的研究,弱有限元方法是由王军平和叶秀在2013年最早提出,以求解二阶椭圆问题的一种数值方法,这种方法的主要思想是在数值格式中借助重新定义的广义弱微分算子,对剖分单元的内部和边界分别引入自由度,即使用分片的,间断的多项式函数空间作为近似空间,空间基函数的定义是在各单元分片进行的,且函数的内部抑和边界ub定义相互独立,因此,弱有限元方法具有有限元空间更大,算法更灵活,数值格式更简洁的优点.同时,为了保证数值解的弱连续性,一般的弱有限元方法需要引入刻画相邻单元间差异的项,通常被称为稳定子,稳定子和弱微分算子（以弱梯度和弱散度为例）的一般格式定义为（▽wv,τ）T=-（v0,▽·τ）T+＜vb,τ·n＞（?）T,（?）τ ∈[H1（T）]d×d,（▽w·v,q）T=～（v0,▽q）T+＜vb,qn)（?）T,（?）q∈H1（T）,s（v,w）=（?）＜vo-vb,ω0-ωb)（?）τ.不同的问题模型,不同的弱函数空间定义都会影响稳定子s（v,ω）的定义方式,由它的定义可以看出,稳定子的加入会导致数值求解的计算复杂度的增加,因此,我们考虑如何在保证弱有限元方法其他优点的同时,可以去掉稳定子,从而降低算法的计算复杂度.在本文中,我们主要介绍两种无稳定子格式的弱有限元方法.第一种是协调间断有限元方法,目前这种格式已被用于求解二阶椭圆方程和Stokes方程.这种格式的主要思想是对弱微分算子引入Raviart-Thomas（RT）元,同时利用内部函数的平均值代替边界函数,这种格式的近似函数空间的定义与传统弱有限元方法相同,并保证了相同的精度,在格式更简单的情况下,减少了边界自由度,去掉了稳定子,有效降低了计算的复杂度.本文第三章中,将使用矩形剖分上的协调间断有限元格式求解二阶椭圆方程.为了使格式简洁,我们考虑Rd上的有界区域Ω上具有Dirichlet边界的Poisson问题:-△u=f,在 Ω,u=g,在（?）Ω.在使用传统的协调有限元方法和弱有限元方法对上述Poisson问题进行求解时,其数值格式分别为:求uh∈H1（Ω）,满足uh|（?）Ω=g,以及uh={u0,ub}∈Vh,满足ub|（?）Ω=Qhg,使得（▽uh,▽v）=（f,v）,（?）v∈H01（Ω）,（▽wuh,▽wv）+s（uh,v）=（f,v）,（?）v={v0,vb} ∈ Vh0,其中Qh={Q0,Qb}是投影算子,▽ω是弱梯度算子,它的定义来源是分部积分方法,Vh是相应的弱有限元函数空间,Vh0是Vh的子空间,其在边界（?）Ω的取值为0,具体定义我们将在第二章和第三章中给出.接下来,我们给出相应的协调间断有限元方法的数值算法.算法1求uh={u0,{u0}} ∈ Vh,且在（?）Ω上满足uh=Ihq,使得（▽ωuh,▽ωv）=（f,v）,Vv∈Vh0,其中{u0}表示u0的均值,Ih是拉格朗日插值算子,Vh和Vh0是相应的弱函数空间及其子空间.由以上三种数值格式的对比可以看出,协调间断有限元方法的数值格式既具有协调有限元方法的简洁性,又具有弱有限元方法的灵活性.接下来,我们给出了稳定性分析,更近一步地,我们建立了在离散H1和L2范数下最优收敛阶的误差估计,最后我们进行了数值实验,数值结果验证了理论分析所得结论.本文第四章和第五章主要介绍第二种无稳定子格式的弱有限元方法,这种方法的主要思想是通过提高弱微分算子的次数到一定程度,在满足数值解的弱连续性,保证刚度矩阵的大小和全局稀疏性不变的同时,使用更高次数的弱微分算子也可以显著降低数值计算时的复杂度.目前这种格式已被用于求解二阶椭圆问题,Stokes问题和线弹性问题.仍以二阶椭圆问题为例,求解这一问题的无稳定子弱有限元方法的数值格式如下.算法2求uh={u0,ub}∈Vh,且在（?）Ω上满足uh=Qhg,使得（▽ωuh,▽ωv）=（f,v）,（?）v ∈Vh0,其中Qh={Q0,Qb}是L2投影算子.可以看出,这种数值格式也具有限元方法的简洁和弱有限元方法的灵活.对于任意v ∈Vh+H1（Ω）,其弱梯度▽ω（v|T）∈[Pj（T）]d（j＞k）,j的取值将在后续章节中给出.在本文中,我们会继续对这种方法进行研究,并将其用于求解Stokes问题和线弹性问题,给出相应的数值格式.我们对数值格式的适定性进行了证明,给出了收敛性分析,并进一步通过数值实验验证了理论分析.特别地,由于在这种格式下,弱微分算子次数的选取与剖分单元的边数有关,因此在数值实验中,我们不仅给出了常规三角形和矩形剖分的情况,同时也给出了六边形剖分的情形,进一步论证了理论分析.