本文研究两种带有交界面的模型的数值求解,分别是Stokes-Darcy耦合模型和线弹性交界面模型.在Stokes-Darcy模型中,交界面两侧是不同的控制方程,方程在交界面上交换信息,这类问题的研究更侧重于不同方程之间的耦合,因此在对这样的耦合问题设计算法时,既需要考虑数值方法对不同区域上不同方程的求解效果,又要考虑数值方法对整体系统的求解效率.而对于线弹性交界面模型,交界面的两侧是同一种方程.在穿过交界面的时候,方程的系数,位移,应力和应变等信息均可能在交界面上产生间断,这会对数值算法的设计带来一些挑战,比如这样的间断性会使得问题具有比较低的全局正则性.因此,基于一些正则性假设的数值方法就会失效.此外,交界面几何形状的复杂性也需要网格具有较强的灵活性,对于线弹性问题的求解,另一个需要关注的点是闭锁现象,即当材料趋于不可压缩时（方程中的其中一个Lam’e常数趋于无穷）,数值解的误差会随着常数的增大而改变.本文将根据这两种模型的特点,以弱有限元方法为主对这两种模型设计数值算法.弱有限元方法是近年发展起来的一种新型数值方法,其主要特点是引进了弱函数作为有限元空间中的函数,并对弱函数定义相应的弱微分算子.通常,弱函数在形式上记为{v0,vb}在每个单元上,v0表示函数在单元内部的值,vb表示函数在单元边界上的值,vb与v0在单元边界上的迹之间可以是无关的.因此,我们在作离散的时候,可以根据具体需要选择不同的v0,vb多项式组合.此外,为了保证数值格式的适定性,还需要在弱有限格式中加入稳定子.由于弱有限元的定义是逐单元进行的,该方法允许使用一般的二维多边形网格和三维多面体网格.可以看到,弱有限元方法在离散元的选取和网格剖分方面都具有较强的灵活性,这对于处理具有交界面的问题是非常便利的.Stokes-Darcy模型经常被用来描述自由流和多孔介质流耦合的情形,具体而言,在自由流区域使用Stokes方程描述流体的流动,在多孔介质区域使用Darcy定律描述多孔介质流,在交界面上还需要三个交界面条件.第一个交界面条件来源于质量守恒,第二个交界面条件描述的是法向应力平衡,第三个交界面条件是Beavers-Joseph-Saffman（BJS）条件.Darcy方程有两种不同的形式,即原始格式和混合格式.我们首先考虑标准的Sto-kes方程耦合原始格式的Darcy方程.对于Stokes方程,弱有限元方法在求解时表现出来以下优势.首先,Stokes方程的弱有限元格式构造简单直接且不需要调整参数来保证格式的稳定性.第二点,可以使用低阶的弱有限元对来逼近速度和压力.第三点,弱有限元方法允许使用一般的多边形网格.对于原始格式的Darcy方程,实际上是一个二阶椭圆的形式.标准有限元对于二阶椭圆方程的求解是高效且成熟的.因此,对于这样的Darcy方程,使用有限元方法进行离散是首选.然而对于Stokes-Darcy耦合问题的求解,并不是简单的将两种离散方式结合在一起就可以得到上面所说的优势,因为离散格式在交界面处需要具有一致性.我们可以充分利用弱有限元方法的灵活性,仔细选择Stokes区域的局部弱有限元匹配Darcy区域整体的连续元.此外,由于弱有限元方法允许使用带有悬点的网格,因此交界面两侧的网格也不必是对齐的.在对数值格式的分析中,为了处理Stokes方程中的应力张量,我们证明了针对弱有限元的Korn不等式,并在此基础上,证明数值格式的适定性.进一步,我们还推导了误差估计,并通过一些数值算例验证了理论分析得到的结果.紧接着,我们又考虑Stokes方程与混合格式的Darcy方程的耦合.混合格式的Da-rcy方程涉及速度和压力两个变量,这使得耦合系统在两个子区域上的未知量一致,因此,混合情形比原始情形在描述交界面条件时更加自然.对Stokes方程稳定的元和对混合格式的Darcy方程稳定的元经常是不同的,尽管弱有限元方法可以同时对Stokes方程和Darcy方程稳定,但是出于自由度的考虑,我们仍然在不同的区域使用不同的元来离散.在我们的工作中,我们仍然使用弱有限元方法来离散Stoke方程,而对于混合形式的Darcy方程,我们使用混合有限元方法进行离散,一些经典的混合元可供选择,例如RT元,BDM元和BDFM元等.对于这个离散系统,一个主要的困难是整个区域上的inf-sup条件,我们在Stokes区域和Darcy区域分别构造了投影算子来解决这一难点.进一步,我们推导了两个区域上速度和压力的误差估计,并给出了一些数值算例来说明我们的数值方法的有效性.本文考虑的另一类问题是线弹性交界面问题.线弹性方程广泛应用于固体力学中,用来描述固体在外力的作用下,位移,应变和应力之间的关系.然而在实际生活生产中,物体往往由多种不同材料组成,这些材料的材料性质和物理性在交界面上会发生改变,这就导致了所谓的线弹性交界面模型.在本文中,我们使用弱有限元方法离散线弹性交界面模型.由于方程的系数,位移,应变和应力在穿过交界面时会产生间断,我们首先在交界面上使用双值的弱函数来离散模型,但这样的格式在理论分析和算法实现上比较繁琐,于是在此基础上,我们将交界面条件带入到弱有限元格式中,得到了在交界面上具有单值的弱有限元格式.进一步,我们推导了位移在能量范数和L~2范数下的最优阶误差估计,估计结果说明了所构造的弱有限元格式是无闭锁的.最后,我们通过一些数值算例验证了数值格式的有效性和无闭锁性.