Guass超几何函数F(a,b;c;x)(当a+b=c时,称为零平衡超几何函数)及其特例完全椭圆积分K(r)在特殊函数中具有极为重要的地位,许多其他类型的特殊函数都是F(a,b;c;x)的特殊情形或者极限。零平衡超几何函数F(a,b;a+b;x)不仅在拟共形映射、R amanujan模方程理论、数论和数理方程等数学领域中起着重要的作用,而且在物理学、工程技术等其他学科中有着广泛的应用。在对零平衡超几何函数F(a,b;a+b;x)分析性质的研究中,Ramanujan常数R(a,b)及其相关特殊函数的单调性、凹凸性等分析性质是必不可少的。本文主要研究、揭示零平衡超几何函数F(a,bb;a+b;x)、完全椭圆积分K(r)和Ra-manujan 常数R(a,b)新的分析性质,并给出它们的一些精确不等式,丰富这些领域的研究成果。本文由以下三章构成:在第一章中,主要引入本文所涉及的一些概念、记号和相关已知结果,介绍零平衡超几何函数和Ramanujan常数的发展历史和研究现状,并说明本文的研究背景。在第二章中,揭示了 Ramanujan常数R(x,c-x)与一些初等函数组合的分析性质,将R(x)的相关已有结果推广到R(x,c-x)上,给出了R(x,c-x)的一些由初等函数表示的精确上下界。在第三章中,首先通过研究零平衡超几何函数F(a,b;a+b;x)与三角函数等初等函数的适当组合的分析性质,获得了 F(a,b;a+b;x)的单调性、绝对单调性和由初等函数给出的上下界等性质,从而将完全椭圆积分的相关已知结果推广到零平衡超几何函数。然后,通过研究零平衡超几何函数与多项式的某些组合的级数展开、单调性等分析性质,获得了F(a,b;a+b;x2)/F(a,b;a+b;x)的精确上下界;特别地,实质性地加强了H.Alzer和K.C.Richards最近获得的关于完全椭圆积分之一类商的结果,给出了 M.E.H.Ismail问题的答案。