本文中我们主要研究两个问题： 一，研究以下半空间中带Neumann边值条件的退化 logistic型半线性椭圆方程的J下解其中T={x=(x1,x2,…,xN):xN≥0},(N≥2),a(x),b(x)是T∈RN上的连续函数，且满足b(x)≥0,b(x)≠0；b(x)≡0，x∈Ω0. Ω0是非空有界连通集，记Ω0={x∈Ω0:b(x)=0}，аΩ0是光滑的.n是аT的单位外法向量. 以往研究的Neumann边值问题有很多结论都是在有界区域得到的，如文[8]，本文采用传统的上下解以及一种新的方法得到无界空间中椭圆方程正解的存在唯一性定理. 二，研究半空间中有界边值条件的半线性椭圆方程 其中φ(x)是连续函数，φ(x)≥C0.C0，σ是正常数.f(u)是[0，∞)上的非线性连续拟单调函数且满足f(u)>0，U∈(0，a)；f(u)<0，u∈(a，∞).以及更一般的情况：非线性函数f(x,u)满足φ1(x)f1(u)≤f(x,u)≤φ2(x)f2(u).fi(u)是[0，∞)上的连续拟单调函数且有f1(u)>0，u∈(0，a1)，f1(u)<0，u∈(al，∞)；f2(u)>0，u∈(0,a2)，f2(u)<0，u∈(a2，∞)，a1≤a2.在对f(x，u)加以某些限制的情况下来研究方程0