研究系统的稳定性，我们总试图寻找象周期解和拟周期解这样的有界轨道。可积系统中拟周期解构成全测集，其运动永久稳定，但当人们试图采取经典的摄动方法在近可积系统中寻找拟周期解时，会发现当频率共振或接近共振时级数发散，即便是远离共振，其线性化算子逆无界，这个问题被称为小分母问题，是寻找拟周期解最主要的困难。很多伟大的数学家，如Poincaré,Weierstrass等人在此止步。 在1954年的ICM的大会报告中，Kolmogorov以其深刻的洞察力，提出了全新的看法：近可积系统中，频率满足Diophantine条件的环面不会被摄动摧毁，其上的轨道做相应频率的拟周期运动。Kolmogorov不仅给出了命题，而且指出了证明方法：牛顿迭代法。Kolmogorov没有给出严格证明，其后62，63年Moser，Arnold相继给出可微情况（333阶）扭转映射，和解析情况下任意自由度近可积系统的证明。后来大家把这个定理称之为Kolmogorov-Arnold-Moser定理（或简称KAM定理）。KAM理论有着重大而深远的意义。首先，它用严格的数学理论阐述了动力学稳定性问题的一个重要方面：近可积系统存在大量的不变环面，其上运动为拟周期运动，在概率意义上，大部分轨道永久稳定。其次，在近可积情况下否定了Boltzmann遍历假设（用现在的语言说，相空间上几乎所有的轨道在等能面上稠密！）。正因为如此，KAM理论在物理、天文和力学等自然科学中产生的巨大影响在二十世纪的数学成就中是相当少见的。同时，作为一种数学方法，在Moser的推动下，KAM理论本身已成为受到许多一流数学家重视的一个研究领域。 在经典的KAM定理中，考虑n个自由度的近可积Hamilton系统： H(I,θ)=N(I)+P(I.θ).(0.1) 频率向量ω(I)=？在I<,0>点处需要满足非共振条件，精确的讲是Diophantine 条件：|〈k,ω(I<,0>〉|?? ?k ∈ ?<’N>{0},γ,?>0, (0.2) 那么著名的KAM定理告诉我们未扰动系统的不变环面{I=I<,0>}在小扰动下不会被破坏而只是轻微的形变，并且它上面充满了频率仍为ω（I<,0>）的拟周期轨道（参见［Arl］，［Kol］，和［Mol］。 如果N（I）还满足Kolmogorov非退化条件，即N的Hessian矩阵可逆，那么频率映射ω:D→R I→ω（I） 就是从作用量空间到频率空间的一个微分同胚。于是在{ω（I）|I∈D}中会存在一些频率不满足Diophantine条件（0.2），甚至发生共振：即存在一个m（m?<’n>，s.t.〈k,ω〉=0，k∈g<,ω>． 这样的ω所对应的未扰动系统的不变环面被称为m阶共振的。一般情况下，这类环面会被扰动所破坏，动力行为将变得及其复杂（例如：Arnold扩散）（参见［Si］）。 对m=1而言，程崇庆教授在［Ch1，Ch2］中证明了在凸性条件下至少有两个（n-1）维的环面（一个是双曲的，另一个是椭圆的）在扰动下会保存下来，而不需要对扰动加任何限制。但看起来他的方法在研究更高阶共振时会失效。尤建功教授［Yol］在m=1且法向双曲型退化情形下，结合KAM技巧和奇点理论，也得到了低维不变环面的存在性。 在m>1时，问题看上去很复杂。很多作者都想给出一个像m=1情形那样漂亮的结果。但由于技术上的不足，需要一些额外的条件（例如给P加上某类非退化条件）来证明n-m维不变环面的存在性（参见［CW，CKLY.Gr，Me，Mo2，P?sl，Tre，XY2，Yo2，Ze］）。这些都将成为Arnold扩散的障碍。例如在［CKLY］中，作者考虑了如下的Hamilton系统：H=N+P=（ω.I）+δh（u.v）+δ<2>？. （0.3）δ是一个小参数，并假设（u,v）=（0,0）是h的一个非退化的临界点，即h′<,u>（0,0）=h′<,u>（0,0）=0,det h″（0,0）≠0． 应用KAM技巧，他们得到了系统（0.3）的低维不变环面。 一个很自然的问题就是：如果（0.3）中deth″在临界点（0，0）处为零结果会怎样？例如，法向抛物退化的Hamilton系统： H＝〈ω，I〉+1／2（v<2><,1>+…+v<2><,m>）+c<,1>u<2d><,1>+…+c<,m>u<2d><,m>+e？， （0.4） 其中c<,i>≠0，d≥2。我们记 h（u，v）＝1／2（v<2><,1>+…+v<2><,m>）+c<,1>u<2d><,1>+…+c<,m>u<2d><,m>， 其中（u，v）＝（0，0）是h的一个退化临界点，即： h＇<,u>（0，0）＝h＇<,v>（0，0）＝0，deth″（0，0）＝0． 人们相信系统（0.4）的低维环面存在性问题的回答应该是肯定的尽管还没有任何证明（这里m≥3，且不对扰动加限制，m＝1，2的相关结果参见［WQ，Yol］）。 本文考虑c<,i>＜0，i＝1，…，m的情形（双曲退化型），在对？做了一定的假设后（见§3．2），通过一步辛变换（事实上中间还包括一步关于法向变量u的平移变换，见（3．15））将上述Hamilton函数（0.4）变成一个法向双曲非退化的Hamilton函数， ？ 其中a<,i>，b<,i>＞0，且满足a<,i>b<,i>－a<,j>b<,j>≠0。再由标准的KAM定理就能得到低维不变环面的存在性（详见定理（3．1．1））。