论文部分内容阅读
1990年,Pardoux和彭实戈引入了如下一般的倒向随机微分方程（BSDE）: yt=ζ+integral from n=t to T（g（s,ys,zs）ds）-integral from n=t to T（zsdWs）, t∈[O,T]. （0.1） 按照他们的理论,这一类BSDEs的解是一对适应过程,记为（y,z）,由于这一方面的理论与数理金融、随机控制、偏微分方程、随机决策、随机几何、数理经济等有密切关系,从此,许多科研工作者致力于倒向随机微分方程解的性质的研究。其中彭实戈于1991年得到的关于解的第一部分y的比较定理是比较杰出的工作。 有趣的问题是如何比较BSDE（0.1）的解（y,z）的第二部分z,z的性质又如何?事实上,了解z的性质以及比较z的大小是非常重要的,因为在期权定价中z表示投资组合。彭实戈把倒向随机微分方程理论和偏微分方程理论联系起来,利用偏微分方程理论的有关知识考察了z并且给出了z的一个简单的显示表示（见[12]）然后,陈增敬等人利用z的这个显示表示作了大量的工作,得到许多好的结论（见[3],[4]）。但是所有以上的工作都是基于一个事实:倒向随机微分方程（BSDE（0.1））的生成元g是确定的,如果g是随机的,利用偏微分方程的有关知识来考察z的性质不是很有效的。 在本论文的第一章中,我们考察带有随机生成元g的倒向随机微分方程,利用Malliavin微分的有关知识来研究z的性质,我们得到了某些BSDEs比较z的方法,给出了某些BSDEs关于z的比较定理。本章所得到的主要结论是定理1.3.1、例1.4.1、例1.4.2、定理1.4.5,其中定理1.3.1是最基础的,现在引用如下: 定理1.3.1:假设BSDE的参数（g,ζ）满足条件（H3）、（H4）和（H5）,令（yt,zt;0 ≤ t ≤T）是相应的BSDE的解。如果对任意的t∈[O,T],Dtζ≥ 0,a.s.并且Dtg（s,ys,zs） ≥0,dp×dt,a.s.0 ≤t ≤s≤T. 那么在几乎处处的意义下,对任意的t∈[O,T],zt ≥ 0;而且,如果对任意的t∈[O,T],Dtζ>0,a.s.或者Dtg（s,ys,zs）>0,dp×dt a.s.0 ≤ t ≤ s ≤T,那么zt>0,a.e. t∈[O,T]。（注:其中条件（H3）、（H4）和（H5）见第5页的引理1.3.1） 然后利用关于z的比较定理,我们又研究了关于BSDEs的共单调定理,有关BSDEs解的共单调定理,陈增敬等人作过大量的工作,得到了许多好的结论,但是他们所用到的BSDEs的生成元g都是确定的,如果BSDEs的生成元g都是随机的,陈增敬等人得到的许多好的结论还正确吗?本章通过巧妙地给出两个例子（见本文例1.4.1和例1.4.2）用来证明如果BSDEs的生成元g都是随机的,那么陈增敬等人得到的