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为了处理现实世界的一些不确定性问题（如，Knight不确定性），Peng(2006)[52]提出了一个新的非线性期望—G-期望的概念。近十年来，非线性期望理论作为概率论的一个新的分支得到了迅速的发展，尤其是G-期望理论。G-期望是从所谓的“G-热传导方程”(e)tu-G（(e)2xu）=0构造的一个具有时间相容性的次线性期望，同时G-布朗运动也得以定义，随后G-期望下的随机分析得到了发展。其中由非线性偏微分方程得到G-期望的这一想法被我们发扬光大，沿袭Stroock and Varadhan(1969)[74]研究扩散过程时，建立线性微分算子与概率测度之间直接联系的思路，我们寻找非线性微分算子与非线性期望之间的直接关联，提出了非线性期望下的鞅问题。为求解此鞅问题，我们根据Peng(2005)[51]中的非线性Markov链的想法，利用非线性偏微分方程的粘性解构造出非线性期望，从而证明其解的存在性。为此，一类完全非线性偏微分方程的粘性解的存在性和比较定理得到了证明。依赖鞅问题的方法，我们给出了G-随机微分方程(G-SDE)的弱解概念，并得到一类一般形式的具有Lipschitz连续系数的d-维G-随机微分方程的弱解的存在性结果。此结果推广了经典的Girsanov变换，即，从一个给定的非线性期望下的布朗运动出发，通过某种变换而得到另一个非线性期望下的布朗运动。 本文首先，回顾了经典的鞅问题，和非线性期望（尤其是G-期望）的起源和发展，以及最近的结果和发展趋势。然后介绍了非线性期望的基本结论，特别是G-期望下随机分析的主要结果。为了构造一般的非线性期望，我们研究了两大类完全非线性偏微分方程的粘性解的存在和唯一性，并确定了一类用来构造非线性期望的完全非线性偏微分方程类。随后，我们研究了一类由非线性偏微分方程粘性解构造的非线性期望，定义了非线性期望下的鞅问题，并利用偏微分方程的粘性解方法证明了一类特殊形式的鞅问题的解的存在性。最后，利用已经得到的鞅问题的结果研究G-SDE的弱解的存在性。