断裂力学问题的核心任务是求解含各种缺陷的固体材料或结构在外荷载作用下的应力应变场和确定裂纹尖端处的应力强度因子。Westergaard应力函数法和Muskhelishvili方法作为求解平面断裂力学问题的两种复变函数方法，是非常实用和有效的。Muskhelishvili方法和由其发展的保角变换法都是通过一个保角变换，把物理平面上的区域变换到数学平面上的单位圆的内部(外部)或上半平面(下半平面)去求解。　　 本文第二章利用复变方法，通过构造新的保角变换，研究了狭长体中Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅲ型有限长Griffith裂纹问题，得了裂纹尖端处应力强度因子的解析解。在极限情形下，该解析解可还原为已有的无限大平面中有限长Griffith裂纹问题的解。　　 本文第三章导出了点群6一维六方准晶反平面弹性问题的控制方程.利用复变方法，给出了点群6一维六方准晶在周期平面内的反平面弹性问题的应力分量以及边界条件的复变表示，研究了无限大点群6一维六方准晶中椭圆孔口、半无限裂纹、共线的半无限双裂纹、幂函数型曲线裂纹问题以及点群6一维六方准晶狭长体中有限长Griffith裂纹问题，得到了相应缺陷的声子场与相位子场Ⅲ型问题的应力强度因子的解析解。在极限情形下，就声子场而言，所得结果与已有的经典弹性的结果完全一致。　　 本文第四章利用广义复变函数方法，给出了正交异性复合材料板平面弹性问题的应力分量及边界条件的复变表示，通过构造适当的广义保角变换，得到了带半无限裂纹的正交异性复合材料板应力场和裂纹尖端应力强度因子的解析解。