【摘 要】
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Laplace方程和泊松方程的边界形状重建问题是重要的科学研究方向。但该问题具有不适定性:边界条件数据上引入很小的扰动都可能使得拟合的结果与实际边界形状产生较大偏差。同时,由于现实条件的限制,无法测量出准确的数据。因此,越来越多的学者关注如何稳定地重建Laplace方程和泊松方程的边界形状。基于小波的紧支撑性等良好的性质,线性方程组中的系数矩阵比其他方法的小很多,扰动几乎对结果没有影响。因此越来越
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Laplace方程和泊松方程的边界形状重建问题是重要的科学研究方向。但该问题具有不适定性:边界条件数据上引入很小的扰动都可能使得拟合的结果与实际边界形状产生较大偏差。同时,由于现实条件的限制,无法测量出准确的数据。因此,越来越多的学者关注如何稳定地重建Laplace方程和泊松方程的边界形状。基于小波的紧支撑性等良好的性质,线性方程组中的系数矩阵比其他方法的小很多,扰动几乎对结果没有影响。因此越来越多的研究人员在不同的工程问题上选择合适的小波基,构造不同的小波方法进行数值求解。因为B样条小波方法的紧支撑性等特点,以较小的单元获得较高的精度,从而逼近精确解。另一方面,正则化方法能够有效保持方法的稳定性。但目前还没有人构造正则化B样条小波方法来重建Laplace方程和泊松方程Cauchy问题的边界形状。本文基于Tikhonov正则化方法和B样条小波函数的优点,提出正则化B样条小波方法。使用该方法在不同扰动大小下重建Laplace方程和泊松方程Cauchy问题边界形状。通过相对均方误差,在Laplace方程和泊松方程Cauchy问题边界辨识上,正则化B样条小波方法比B样条小波方法的求解结果更加稳定。当扰动高到10%-30%的情况下,仍能得到不错的边界重建结果;总的来说,正则化B样条小波方法能够重建出高精度的数值边界形状。
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