哈密顿系统是最重要的动力系统之一，它有两个重要的性质：辛结构和能量守恒.此外，在一定条件下还具有周期性.优秀的算法应当尽可能的保持系统原有的性质.本文将保能量的连续有限元法用于求解哈密顿系统，并研究它的长时间性质.主要结果及创新点如下。　　 本文综合考察了辛算法和有限元方法的长时间性质.通过分析大量的数值结果提出了关于轨道，能量，辛的三大猜想.首次证明哈密顿系统有限元法的轨道误差随时间线性增长(冯康猜想)，这一结果长时间内有效.证明分成以下几个部分：(a).首先证明了有限元法轨道偏离的短时间收敛及超收敛结果.(b).在两个基本假定条件下，证明了三个重要的一致性估计.(c).利用短时间结果，三个一致性估计以及有限元法严格保能量的性质，证明了有限元法冯康猜想长时间成立。　　 首次发现并证明了一类隐式Runge-Kutta法(RK)与CFE的等价性关系。研究表明，一类m级RK法等价于基于相应的m点求积公式的m次CFE。以一组重要的等价算法为例，m级Gauss型RK法等价于基于m点Gauss求积公式的m次有限元法，且它们是辛算法。　　 我们重点考察轨道误差的增长方式，将轨道误差随时间线性增长的算法定义为哈密顿系统的正规类算法.数值结果表明，除了辛算法和保能量算法，还有梯形公式，Simpson格式，LobattoⅢA法，平均间断有限元法(ADFE)等都属于正规类。正规类算法都能保证冯康猜想成立，有效扩充了哈密顿系统算法的研究类。　　 利用误差渐进展开及外推技巧，提出了时空哈密顿系统的快速推进算法。其主要思想是，计算第j+1层解时，首先利用前几层的解和外推公式给出第j+1层数值解的近似值，然后经过少量的迭代即可达到理想精度。所以，良好的初值能有效减少每层的计算时间。数值结果表明，选用合适的外推公式，快速算法目前至少能减少一半的计算量。　　 最后，考虑二维矩形区域上的Poisson方程。我们基于单元正交分析法，修正技巧和张量积思想，证明了该方程双k次矩形有限元解在单元节点上的最高2k阶超收敛性，其中k是任意的正整数.这一结论也是研究时空哈密顿系统有限元法收敛性的基础。