【摘 要】
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Quasi-Frobenius(简称QF)环的研究起源于有限群的表示理论.1941年,Nakayama定义了QF环:R称为QF环,如果它是单边artinian环,而且对R的任一本原幂等元基本集,存在一个{1,2,…,n
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Quasi-Frobenius(简称QF)环的研究起源于有限群的表示理论.1941年,Nakayama定义了QF环:R称为QF环,如果它是单边artinian环,而且对R的任一本原幂等元基本集,存在一个{1,2,…,n}的置换σ,使得Soc(Rek)≌ Reσ(k)/Jeσ(k)和Soc(eσ(k)R)≌ekR/ekJ.1966年,Osofsky证明了任一单边完全和双边自内射环是QF环.后来许多学者将内射性或链条件减弱,给出了许多新的等价刻画.环R称为右CS环,如果R的每个右理想都在模RR的一个直和项中本质.环的CS性一方面源于von Neumann通过连续几何对模型量子力学的研究,另一方面是对R的内射性的自然推广.上世纪六十年代,Utumi通过研究正则环引入了C1,C2,C3条件,C1条件就是我们所说的CS条件,后来许多学者将这些条件推广到了一般的环上和模上.2000年,Smith定义了自c-内射模:模M称为自c-内射的,如果对于M的任一闭子模欠,任意同态f:K → M可提升为同态f:M → M.受此启发,我们在文章中定义右C-内射环,并研究其性质.本文研究内容包括以下两方面.一、关于C-内射环的研究.环R称为右C-内射环,如果对R的任意闭右理想I,及任意的同态f:IR → RR,f可提升为RR到RR的同态.其中I称为环R的闭右理想,如果I是模RR的闭子模,即I在RR中没有真的本质扩张.由定义知右CS环是右C-内射环,本文给出了两个是右C-内射而非右CS环的例子,说明右C-内射环是右CS环的真推广.在文章中,我们研究了右C-内射环的性质,讨论了环R上的矩阵环是右C-内射环的充要条件,及R上列有限矩阵环是右C-内射环的充要条件.并考虑了其他特殊环类如环R的角环、平凡扩张及上三角矩阵环等的C-内射性.二、关于QF环的研究.1992年,Armendariz和Park证明了环R是QF环当且仅当R是左自内射的,R/Sr或R/Sl是左Goldie环.2014年,陈建龙等在一篇关于QF环的综述里提出了如下公开问题:若R是右自内射环,R/Sl为左Goldie环,R是否为QF环?针对该问题,我们在左极小内射或Sl(?)Sr条件下给出肯定的回答.即证明了若R是右自内射环和R/Sl是左Goldie环,则R是QF环当且仅当R是左极小内射环当且仅当Sl(?)Sr.随后,我们将R的自内射性条件减弱至右CS、右P-内射条件.证明了若R是右CS、右P-内射环和R/Sl是左Goldie环,则R是QF环当且仅当R是左极小内射环当且仅当Sl(?)Sr.最后,我们又证明了若环R是半完全极小内射的,Sr(?)ess RR,R/Sl是左Goldie环,则R是QF环.该结果改进了Nicholson和Yousif的相关结论.
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