论文部分内容阅读
众所周知,很多重要的广义逆,如Moore-Penrose逆、加权Moore-Penrose逆、Drazin逆、加权Drazin逆、群逆等都是外逆.外逆在数值分析、最优化、数理统计等众多领域中具有引人注目的作用.如在具有奇异Frechet导数的非线性算子方程的迭代法(如Newton法、拟Newton法等)中是重要的研究工具.外逆具有重要应用价值的一个根本原因是因为在Banach空间中,任意非零有界线性算子的外逆均存在,而且有界线性算子外逆的扰动是稳定的,具有良好的性质. 设X,Y为Banach空间,T为X到Y上的有界线性算子,T{2}为其外逆算子,我们知道,若小扰动δT满足‖T{2}‖·‖δT‖<1,则T{2}(I+δTT{2})-1为(T)=T+δT的外逆,但T{2}(I+δTT{2})-1不一定是(T)=T+δT的广义逆.自然地会问下面的问题:什么条件可以保证T{2}(I+δTT{2})-1为(T)的广义逆?对于Drazin逆情形的问题N.Castro-Gonzalez和J.Y.Velez-Cerrada于2008年给出了Banach空间中Drazin逆的扰动定理. 本文首先在Banach空间中给出了T{2}(I+δTT{2})-1为(T)的广义逆的等价条件,并以此研究了T{2}(I+δTT{2})-1为(T)的群逆的特征.本文所得到的主要结果推广和改进了文[4,5,29,31,34,36]的主要结果. 定理3.1设X,Y为Banach空间,有界线性算子T∈B(X,Y)存在外逆T{2}∈B(Y,X),若δT∈B(X,Y)满足‖T{2}‖·‖δT‖<1,则下列命题等价:(1)B=T{2}(II+δTT{2})-1=(I+T{2}δT)-1T{2}为(T)=T+δT的广义逆;(2)R((T))∩N(T{2})={0};(3)X=N((T))(+)R(T{2});(4)X=N((T))+R(T{2});(5)Y=R((T))(+)N(T{2});(6)R((T))=R((T)T{2});(7)R((T))(∈)R((T)T{2});(8)N((T))=N(T{2}(T));(9)N(T{2}(T))(∈)N((T));(10)(I+δTT{2})-1R((T))=R(TT{2});(11)(I+T{2}δT)-1N(T{2}T)=N((T));(12)(I+δTT{2})-1(T)N(T{2}T)(∈)R(TT{2}). 定理设X为Banach空间,T∈B(X)存在外逆T{2}∈B(X),若δT∈B(X)满足‖ T{2}‖·‖δT‖<1,则下列命题等价:(1)B=T{2}(I+δTT{2})-1=(I+T{2}δT)-1T{2}为T=T+δT的群逆;(2)R((T))∩N(T{2})={0}且T{2}(T)=T{2}(T)TT{2},(T)T{2}=T{2}T(T)T{2}.(3)X=N((T))(+)R(T{2})且N(T{2})(∈)N(T{2}(T)),R((T)T{2})(∈)R(T{2}).