本文研究具奇异性非线性扩散方程的周期解问题.我们分别就具孤立奇点的p-Laplace方程、具边界退化奇性的气候模型、具对数奇性的伪抛物方程以及具非齐次源反应扩散方程等几类方程研究周期解的存在性、非存在性、唯一性、稳定性和渐近行为等性质.　　我们在论文的第一部分研究具孤立奇点区域上p-Laplace方程的奇异周期解问题.早在上世纪六十年代，Serrin[Acta Math.，1964;1965]考虑了具孤立奇点区域上二阶椭圆型偏微分方程解的奇点可去性.进入八十年代后，Brezis与Véron[Arch.Ration.Mech.Anal.，1980]，Vàzquez与Véron[Manu.Math.，1980]等众多数学工作者研究了具吸收源椭圆方程孤立奇点可去性.本世纪后，Liskevich与Skrypnik[Potential Anal.，2008]将奇点可去性结果推广到一般的拟线性椭圆方程.但是，据我们所知，关于具奇异性抛物方程解的奇点可去性研究目前仍然空缺.我们的兴趣在于寻求发展型p-Laplace方程在孤立奇点处具有奇性的周期解.值得注意的是，指数p存在一个临界指标pc=N，只有当p＞N时，奇异周期解才可能存在.如果1＜p≤N，则具孤立奇点区域上p-Laplace方程周期解问题解不具有奇性.在p＞N的情形中，我们展现另一个指数q的一个有趣现象:存在奇异指标qs=p-1，即对于q取此值的情形，与其余情形有着完全不同的现象，这种情形下周期解的存在性依赖于方程的系数.　　论文第二部分我们研究具边界退化奇性的气候模型周期解问题.Budyko-Sellers气候模型采用在冰层边缘跳跃间断函数来描述光吸收率.从物理实际来看，在冰雪覆盖层与水陆层之间的交界面处有着复杂的边界层，即称为包含固体成分与液体成分混合物的mushy region.我们试图还原更符合物理实际的具mushy region的气候模型，研究该模型的边界退化特征，证明热流在边界的消失性.我们考虑初值问题、周期解问题的可解性，并且进一步利用微分包含来刻画解的渐近行为.　　第三部分我们研究具对数非线性伪抛物方程正周期解的存在性与不稳定性.对数非线性介于线性与超线性之间，但与后两者有着截然不同的特征.Chen等人[J.Diff.Eqns，2015;J.Math.Anal.Appl.，2015]首先研究了具对数非线性热方程以及伪抛物方程的初边值问题.通过推广位势井方法适用于常系数对数非线性情形，他们证明了弱解整体存在性以及无穷远处爆破等性质.我们的兴趣在于研究具对数非线性热方程以及伪抛物方程的周期解问题.我们利用拓扑度方法建立了正周期解的存在性，并且考虑周期解与初边值问题解间的渐近关系，证明周期解的不稳定性结果.　　论文最后一部分我们研究具非齐次源反应扩散方程的周期解问题.与相当完善的齐次源情形相比，非齐次源情形的研究还只限于次临界增长且小扰动条件下周期解的存在性和稳定性.在这方面，有代表性的工作是上世纪80年代和90年代的两篇文章Otani[J.Diff.Eqns,1984], Hirano与Mizoguchi[Proc.Amer.Math.Soc.,1995].我们的兴趣在于对增长指数进行完全分类，从而对任意扰动的一般情形给出周期解的存在性与非存在性.特别地，作为已有结果的补充，我们揭示了次临界情形下非齐次源充分大时正周期解的非存在性以及超临界情形下非齐次源充分小时正周期解的存在性.