【摘 要】
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谱方法作为一种古老而又新兴的高精度数值方法,被广泛地应用于偏微分方程的近似求解.谱方法最大的特点是具有谱精度,当原方程的解足够光滑时,利用适当的谱方法得到的数值解能达到指数阶收敛率.对于发展型偏微分方程来说,大多数情况下谱方法被用于空间方向的逼近,而时间方向则用有限差分格式来离散,这种做法会导致时间和空间方向的收敛精度不匹配,从而降低数值解的整体精度.时空谱方法的思想就是空间方向采用谱方法的同时时
【基金项目】
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国家自然科学基金（12161063）； 内蒙古自然科学基金（2021MS01018）； 内蒙古自治区高等学校创新团队发展计划支持（NMGIRT2207）；
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谱方法作为一种古老而又新兴的高精度数值方法,被广泛地应用于偏微分方程的近似求解.谱方法最大的特点是具有谱精度,当原方程的解足够光滑时,利用适当的谱方法得到的数值解能达到指数阶收敛率.对于发展型偏微分方程来说,大多数情况下谱方法被用于空间方向的逼近,而时间方向则用有限差分格式来离散,这种做法会导致时间和空间方向的收敛精度不匹配,从而降低数值解的整体精度.时空谱方法的思想就是空间方向采用谱方法的同时时间方向也考虑谱逼近,使得时间和空间两个方向同时达到指数阶收敛率.此外,多区间谱方法与单区间谱方法相比,不仅可以缩减问题的计算规模还可以充分发挥并行计算的作用.本文中我们是利用Legendre时空谱方法对具有非周期性边界条件的线性Sobolev方程和三阶微分方程进行数值求解的.在第三章和第四章分别构造了多维Sobolev方程的时间单区间Legendre时空谱全离散格式和二维Sobolev方程的时间多区间Legendre时空谱全离散格式,并在理论分析中给出了数值格式严格的稳定性和收敛性证明.此外通过在时间方向选取适当的基函数的基础上,空间方向采取不同于传统基函数的Fourier-like基函数来展示了完整的算法实现过程.数值实验中通过大量的算例验证了:第一,数值解在时空两个方向都达到了指数阶收敛率;第二,选取Fourier-like基函数时的计算效果与传统基函数时的效果相比,在计算时长和数据所需的存储空间等方面都有很大程度地提升;第三,在适当的时间区间剖分下多区间谱方法比单区间方法能够达到更好的数值效果.在第五章,我们构造了三阶微分方程的Legendre Petrov-Galerkin时空谱全离散格式,并给出了数值格式的稳定性结论和误差证明.此外在适当的时间和空间基函数的选取下给出了算法实现过程,并通过数值算例验证了时空两个方向都达到的指数阶收敛率外,还将数值结果与其它文献中的数值方法得到的结果进行比较,进一步证明了本文中数值方法的高效性.
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