P-Laplacian方程是一种非常重要的非线性方程，出现在许多物理过程的数学模型中，如功率定律材料问题、非线性扩散对流与过滤、冰川学和拟牛顿流问题等。　　 该方程形式简单，但包含了一类退化非线性系统有限元近似研究中的许多本质困难。当p+1/p+1很大时，该方程是一个极端退化的椭圆方程。这种退化特点给方程的数值求解和误差分析带来了很大的困难。　　 本文基于p-Laplacian方程的等价最小泛函问题，从搜索方向和步长规则的改进等方面研究了它的高效率算法。　　 论文主要包含了三个方面的工作。　　 首先，论文在带权预条件最速下降方向的基础上，研究了两种混合共轭梯度算法，即FR-PRP 算法和HS-DY 算法的数值表现。所有的数值结果表明这些算法具有和带权预条件最速下降算法相同的性质，即收敛性与网格规模是无关的，并且当p →+∞ 1时，它们几乎具有线性收敛阶。通过实验结果的对比分析得知，当方程中的p 较大时，FR-PRP 算法的数值效果优于最速下降算法，HS-DY 算法的效果与最速下降算法相当。由于在理论上直接证明这些算法的收敛性很困难，所以这些算法中引入了重开始技术，得到的新算法数值效果与引入前算法相当，甚至更好。引入重开始技术的这些算法被证明是收敛的。　　 其次，针对精确线搜索在获取步长的搜索过程中要花费大量计算时间的问题，论文分别提出了无线搜索的非标准共轭梯度算法和无线搜索最速下降算法。前者对Rn中的无约束最小化问题是收敛的，在数值上也是有效的。后者是已有的无线搜索下降算法的一种特殊情形，该算法和无线搜索非标准共轭梯度算法都被推广用于求解p-Laplacian方程的等价最小化泛函问题。这两种推广算法都能高效地求解p 处于较小范围内的p-Laplacian方程。为了处理带更大p 值的方程，这两种算法中都引入了序列化技术，新得到的算法对很大p 值时的方程也非常有效。为了保证收敛性，这些算法中加入了充分下降性条件。新得到的算法同样是非常高效的。所有的数值结果表明算法收敛性与网格规模是几乎无关的，且当p !+1时，它们具有线性收敛阶。从无线搜索算法的步长图可以看到，该类算法高效的主要原因在于步长估计公式很好地近似了由精确线搜索获得的步长。　　 最后，论文对p-Laplacian方程进行了一些其它相关的研究。研究了求解该方程的有限内存拟牛顿校正算法。由于计算量的增加和p-Laplacian 方程的有限高阶正则性，数值实验表明该算法仅对小范围内的p 在粗网格上有效，它的总体数值效果远远不如最速下降算法。研究了一些不同预条件子的数值效果。结果表明ε+|▽u|p-2几乎是一个最佳的预条件子。研究了求解p-Laplacian 方程的最速下降算法与由Jinchao Xu 提出的一类变分问题迭代法的关系。研究表明这两者有紧密的联系，但最速下降算法并不是这种迭代法的特殊形式。证明了求解Possion 方程的最速下降算法具有线性收敛阶，并从数值上进行了验证。探讨了修改带权预条件最速下降算法程序的一些方法。数值实验表明修改后的程序在精度不高的情形下，如精度为10-3，能计算p靠近1+时的p-Laplacian 方程。通过对比一个算例的数值解与精确解，可以发现修改后的程序是可行的。