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偏微分方程的数值解法主要包括有限差分方法，有限元方法和谱方法.谱方法由于其具有高精度、高稳定性而被广泛采用，并在计算流体力学，超导研究，非线性光学的数值模拟等领域发挥着越来越重要的作用.本文主要研究全无界区域上的偏微分方程的数值解法.由于有限差分方法和有限元方法将无界区域截断为有限区域会产生人工边界误差，有理谱方法和投影方法等也存在一定的缺陷，而定义在全无界区域上的广义的Hermite谱方法是处理无界区域上的偏微分方程数值解得自然选择. 本文引入了正交的Hermite多项式和具有压缩因子的广义Hermite函数，研究了广义Hermite函数的性质及相关问题.利用广义Hermite谱方法，模拟了二阶椭圆方程的解在的指数衰减、代数衰减、振荡代数衰减三种形态的数值解，数值实验表明，三种形态的解都具有谱精度，其中指数衰减逼近效果最好，同时适当选择压缩因子能改善数值解的精度. 时间分裂方法是一种简单、有效、易于实现的数值方法，本文给出了Ginzburg-Landau-Schr(o)dinger方程(GLSE)两种时间分裂的离散格式，一种是时间分裂-差分-广义Hermite谱方法，另一种是时间分裂-配项-广义Hermite谱方法.配项-广义Hermite谱方法是首先将GLSE方程分裂为线性部分和非线性部分利用广义Hermite函数本身的特性，通过配项的方法使线性部分和非线性部分均能局部精确求解，是一种简捷、有效、高精度、稳定性好的新算法.我们还在理论上证明了GLSE方程的半离散配项-广义Hermite谱方法算法的稳定性和误差估计.最后本文给出GLSE方程的两种格式进行了数值实验，实验证明了时间分裂-配项-广义Hermite谱方法的精度明显高于时间分裂-差分-广义Hermite谱方法，同时选取恰当的压缩因子同样也可以提高数值解的逼近精度.该方法是值得推崇，简单，有效的，具谱精度的微分方程求解的算法.