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函数空间上的算子理论一直是泛函分析的一个重要课题，它作为数学的一个分支，已经历了相当长的研究历程，并形成了一整套丰富的理论体系[1-6]。
不同函数空间上的算子具有不同的特征，算子性质的研究大体上可以分为有界性、紧陛、谱性质、代数性质(如正规性、亚正规性)等几个方面．但经典的函数空间都是在以单位圆盘或单位圆周为基础进行讨论的，其各种性质都已经作了深入的研究，然而就一般区域上的算子，尤其是多连通上的算子，其研究尚不多见。主要是一些的经典方法和常见结论都不能直接运用，这就决定了对这类算子的研究就变得十分困难。同时K-理论是研究图形的拓扑性质与其上的算子性质之间的关系的一坐桥梁，事实上，区域的拓扑性质对于刻划算子空间K-理论有着非同寻常的意义，因此，对一般连通区域上的算子及其K-理论的研究是一项十分重要的工作。
同时，由于区域的一般性，这就决定了一些重要算子，如Toeplitz算子、Hankel算子、复合算子等等的复杂性，与经典情形相比，这些区域上的算子其性质发生了较大的变化，因而对一般区域上的算子的研究就显得尤为重要．
本文着重讨论了有界多连通区域上的Toeplitz算子、Hankel算子、复合算子以及K-理论的有关性质，主要分为以下几个部分：
1、多连通区域上Toeplitz代数的K-群；
2、多连通区域上Dirichlet空间的Toeplitz算子：紧性、谱及指标公式；
3、多连通区域上Dirichlet空间的复合算子的有界性、Fredholm性及K-性质。
对于定义在有界连通区域上的Bergman空间，本文首先指出了任意连通区域上的Toeplitz代数的K<,O>一群总是同构于相应的连续函数代数的K<,O>一群；其次，对一些特殊连通区域的本性边界的上同调群和这些区域上的连续函数代数的K<,O>一群都作了计算。
而对于定义在有界连通区域上的Dirichlet空间，本文首先给出了Toeplitz算子的Fredholm性的等价条件；其次计算了符号为C<1>的Toeplitz算子的谱与Fredholm指标。
最后对Dirichlet空间上的复合算子的有界性、Fredholm性与K-性质都作了一定的刻画。