【摘 要】
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任意给定x>0,设β>1,若存在序列(xi)=x1x2…使得(?)成立,则称该序列为x在基β下的展式,其中xi∈{0,1,…,[β]},[β]表示小于β的最大整数.x的唯一基集,记作U(x),定义为有所有
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任意给定x>0,设β>1,若存在序列(xi)=x1x2…使得(?)成立,则称该序列为x在基β下的展式,其中xi∈{0,1,…,[β]},[β]表示小于β的最大整数.x的唯一基集,记作U(x),定义为有所有大于1且使得x在其下恰有唯一展式的β所构成的集合.本文研究了U(x)的Lebesgue测度与Hausdorff维数,以及其一些拓扑性质.第一章介绍了β-展式的相关背景以及研究唯一集u(x)的意义,并且罗列了本文主要的三个定理.第二章介绍了Hausdorff维数,拟贪婪展式的基本性质,唯一码判定准则,投影映射与码映射以及Lebesgue密度定理等证明本文的三个定理所需的准备知识,并且在2.1节中利用Hausdorff维数的单调性证明了U(x)的Hausdorff维数为1.第三章利用Lebesgue密度定理证明了U(x)是一个Lebesgue零测集.第四章通过构造性的方法,证明了若x∈(0,1),则在U(x)中存在严格递增且收敛到任意大于1的正整数的数列;若x∈(1,(?)+1/2,则U(x)中存在严格递增且收敛到1/x+1的数列.
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