【摘 要】
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本文由四部分组成： 第一部分研究一类由著名学者Shigesada等人提出的带拟线性交错扩散的反应扩散竞争系统带边界层行波解的存在性．利用几何奇异摄动方法，我们得到了当第二个
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本文由四部分组成：
第一部分研究一类由著名学者Shigesada等人提出的带拟线性交错扩散的反应扩散竞争系统带边界层行波解的存在性．利用几何奇异摄动方法，我们得到了当第二个方程的交错扩散系数充分大时系统存在连接两半平凡平衡点的带边界层的行波解，且具有局部唯一的慢波速．而当第二个方程的交错扩散系数充分小时，在不同的参数假设下，系统分别存在连接两半平凡平衡点或连接半平凡与正平衡点的带边界层的行波解，且具有无穷多个波速．
第二部分考察第一部分中得到的具唯一慢波速行波解的渐近稳定性．利用谱分析方法和解析半群理论，我们证明了带边界层的行波解是带平移局部渐近指数稳定的．由于交错扩散项的出现，使得行波处的线性化系统是强耦合的，因而具有更广义的特征值问题．在研究线性化算子的特征值问题时，经典的比较原理不再适用；所以已有的基于比较原理建立的对于竞争模型或互助模型的谱结果并不能直接应用．利用拓扑指标方法，即第一陈数方法(结合了Evans函数和一个拓扑不变量)，通过细致的谱分析和拓扑分析(包括∈>0充分小时，二维不稳定丛的构造和分解；快、慢子丛与快、慢约化丛的拓扑等价性；不稳定特征值的一致有界性以及约化特征值问题的特征值分析)，我们可以证明带边界层行波解的稳定性．
第三部分研究第一部分中得到的具无穷多波速行波解的渐近稳定性．我们借助于稳定性指标方法中构造不变集的思想对线性化算子进行谱分析，结合解析半群理论，得到了每个具有非临界波速的行波解在适当指数加权空间里的局部渐近指数稳定性．
第四部分研究一类神经传导方程组波前解以及chemotaxis模型脉冲波解的稳定性．通过细致的分析，我们得到了线性化算子的一些谱性质．利用半群理论，结合Evans函数方法，我们给出了神经传导方程组波前解和chemotaxis模型脉冲解指数稳定的某些判别方法．
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