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本论文主要目的是学习Li-Yau Harnack不等式，以及估计线性抛物方程基本解上界的基本方法。Li-Yau的工作引入了一些具有基本重要性的方法和概念，包括热方程的梯度估计，Harnack不等式，带有势函数的时空距离等。这些基本方法和概念在Ricci流和平均曲率流中都有进一步的应用。 论文的主要内容是考虑完备流形M上具有如下形式的抛物方程:（△-q（x，t)-(a)/(a)t）u(x，t)=0(1)的正解u(x，t)的估计。我们首先给出关于解的一个梯度估计，利用此公式推导出关于解u(x，t)的Li-Yau Harnack不等式，最后利用Harnack不等式和单调公式得到热方程(1)的基本解在不同条件下的上界估计。