【摘 要】
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在过去的20多年中,离散数学和连续数学的研究以多种方式相互影响.例如,Laplace算子在图论和黎曼流形中有着重要的应用.图的谱与黎曼流形的谱之间的类比对谱图理论的发展有着重要的影响.Faber-Krahn定理是图论与黎曼流形之间的另一个类比.对于Rn中体积相同的任意有界区域,谱几何中经典的Faber-Krahn不等式表明球是具有最小第一 Dirichlet特征值的区域,即球具有Faber-Kra
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在过去的20多年中,离散数学和连续数学的研究以多种方式相互影响.例如,Laplace算子在图论和黎曼流形中有着重要的应用.图的谱与黎曼流形的谱之间的类比对谱图理论的发展有着重要的影响.Faber-Krahn定理是图论与黎曼流形之间的另一个类比.对于Rn中体积相同的任意有界区域,谱几何中经典的Faber-Krahn不等式表明球是具有最小第一 Dirichlet特征值的区域,即球具有Faber-Krahn性质.在本文,我们将在图中不同Dirichlet边界条件和体积的定义下对几种图类的Faber-Krahn型不等式进行综述.特别地,本文主要整理了下面的结果.首先,我们整理了谱理论的相关知识并给出图上组合Dirichlet Laplace算子的两种定义方式.其次,在第一种Dirich-let Laplace算子的定义下,我们整理出具有相同边界点数的单圈图中具有Faber-Krahn 性质的极图是球,而具有相同度序列的单圈图和双圈图中具有 Faber-Krahn性质的极图是具有螺旋序的近似球.最后,在第二种Dirichlet Laplace算子的定义下,我们整理出当Z2上极小诱导子图的面积趋于无穷时,其具有Faber-Krahn性质的极图的相关区域的规范化与单位面积圆盘的对称差测度趋于0.总之,我们希望通过对几种图类的Faber-Krahn不等式的综述来说明图上Dirichlet边界条件和体积的不同定义对研究图的Faber-Krahn型不等式的影响.同时,我们也希望通过本文来说明谱几何理论与谱图理论的密切联系,从而进一步揭示连续数学与离散数学在某种程度上的一致性.
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