这篇论文由两部分组成。主要是我学习Fuller指标和拓扑度的一些理解和心得，对这些内容进行的总结和一些定理细节的补充。在第一部分里，我学习了Fuller[F]在1967年对自治常微分方程的周期轨道所定义的指标。这个指标类似于微分几何中对映射不动点所定义的指标。 设π为一孤立周期轨道，π的指标i(π)定义为一有理数i(T)/m，其中i(T)为周期轨道π所对应的poincaré映射T的不动点指标，m为周期轨道π的重数。定义孤立紧集C为M×(0，∞)中周期轨道的并集(其中第二个分量代表周期)，并且这个集合在M×(0，∞)中是紧的，且存在开领域U与其他周期轨道不交。主要结果是用微分几何和代数拓扑的办法得到的定理：定理.[F]设M为C∞流形，F为M上的C∞向量场，则对任意一个F在M×(0，∞)上的周期轨道的孤立紧集C，我们都可以定义一个指标i(C)满足： (1)若C只包含一条周期轨道π，那么i(C)=i(π)， (2)若C1和C2为两个不交的周期轨道的孤立紧集，那么i(C1∪C2)=i(C1)+i(C2)， (3)若Fα，α∈[0，1]，是M上的一族同伦向量场，其中对每一个Fα，Cα为Fα的周期轨道的孤立紧集，并且∪α∈[0,1](Cα，α)为M×(0，∞)×[0，1]中的孤立紧集，则i(Cα)为不依赖α的常数。 同时我们还学习了由Shui-NeeChow和JohnMallet-Paret[S-J]在1978年用扰动的办法定义的Fuller指标。 考虑以下的自治常微分方程(x)=f(x)x∈Rn，令x(t，a)为其初始点为a的流。 固定开集Ω(∈)(0，∞)×Rn，且Ω的闭包与{0}×Rn不交，令П(f)为周期点П(f)={(T，a)∈[0，∞)×Rn|x(T，a)=a}.设П(f)∩(a)Ω=φ.(0.1)Shui-NeeChow和JohnMallet-Paret定义Fuller指标d(Ω，f)为关于开集Ω和映射f的一个有理数，其中Ω和f满足(0.1)。他们证明了如果fα，0≤α≤1，是一族同伦向量场，满足П(fα)∩(a)Ω=φ，(∨)0≤α≤1. 那么d(Ω，fα)为不依赖于α的常数[S-J]。由引理1.6.1我们可以得到Fuller指标的以上两种定义是等价的。 在第二部分里，我学习了由H.Brezis和L.Nirenberg对一类映射VMO所定义的拓扑度[B-N]。首先在光滑流形X上选定一个黎曼度量。考虑L1(X)中的函数f，令‖f‖BMO=supε＜r0x∈XfBε|f(y)-(-f)ε(x)|dσ(y)，(0.2)其中r0=r0(x)为X的内射半径，σ为X的体积元，Bε(x)为X的圆心在x半径小于r0的测地球，并且(-f)(x)=fBε(x)f(z)dσ(z)=1/|Bε(x)|∫Bε(x)f(z)dσ(z). BMO(X，R)，以后简记BMO，定义为由L1(X)中由满足‖f‖BMO＜∞的函数f组成。(0.2)式在BMO上定义了一个半范，并且其函数在这个范数下是完备的。 然后定义VMO为光滑函数在范数‖·‖BMO下的完备化。换句话说，一个X上的实函数f∈VMO(X,R)，如果f∈BMO(X,R)，并且存在一列光滑函数(fj)使得‖fj-f‖BMO→0。仍令VMO中的范数为‖·‖BMO。我们说映射u属于VMO(X,Y)，如果u∈VMO(X,RN)，且u(x)∈Ya.e. 令u∈VMO(X,Y)。对于∈＜0充分小，令(-u)(x)=fBε(x)u，uε(x)=P(-u)ε(x)其中P为RN中的点到Y中最近点的投影算子，则uε为连续映射。 定义映射u的拓扑度为deg(u，X,Y)=deg(uε，X,Y)，其中∈充分小。 我们验证了deg(u，X,Y)是良好定义的，并且证明这样定义的拓扑度具有连续映射度理论中熟知的性质[B-N]。本文还介绍了拓扑度和某些非线性问题的联系。