【摘 要】
：
科学计算和工程应用中的大多数实际问题,如相分离过程,PDE约束优化问题,不可压缩动力流问题等,都可归结为线性或非线性偏微分方程的求解问题.由于很难求得这些问题的解析解,且有的在经典意义下甚至是没有解的,数值求解就成为了主流且比较常用的方法,已渗透到物理、化学、生物等现代科学与工程的诸多领域,对科技的发展起着重要作用.利用数值方法离散这些实际问题模型,将原方程的求解转化为离散线性代数方程组的求解是数
论文部分内容阅读
科学计算和工程应用中的大多数实际问题,如相分离过程,PDE约束优化问题,不可压缩动力流问题等,都可归结为线性或非线性偏微分方程的求解问题.由于很难求得这些问题的解析解,且有的在经典意义下甚至是没有解的,数值求解就成为了主流且比较常用的方法,已渗透到物理、化学、生物等现代科学与工程的诸多领域,对科技的发展起着重要作用.利用数值方法离散这些实际问题模型,将原方程的求解转化为离散线性代数方程组的求解是数值近似的主要思想.这些线性系统依据不同的问题模型具有不同的结构特点,如算子性质导致的系数矩阵的分块结构或病态特性,离散格式导致的大型稀疏结构等.如何根据线性系统本身的结构特点设计高效、经济且稳健的数值解法,是现代科学和工程计算研究的焦点之一,在数值代数研究领域占据十分重要的地位.本文主要研究具有三类应用背景的非线性偏微分方程及一类PDE约束优化问题离散线性化所产生的代数系统的快速数值解法.针对不同问题模型离散得到的线性系统的结构特点,采用预处理技术设计一系列高效、经济、稳健的迭代算法.全文共有六章内容:第一章详细介绍课题的研究背景、研究意义以及研究现状,并简要介绍本文的主要研究内容和创新点.第二章主要研究由一类非局部Cahn-Hilliard方程离散得到的线性系统的数值求解方法.针对离散得到的含有不定矩阵的2 × 2分块结构的线性系统的求解,设计了一类高效的预处理子.该预处理子的主要特色是:不涉及不定矩阵的运算;相应预处理系统的特征值全是实的;在与已有的预处理子具有相同特征值的前提下,其算法实现过程只涉及两个相同的对称正定子线性系统的求解,体现其更加经济高效的特点.最后通过数值实验验证本章节所提出的预处理子的高效性及稳定性.第三章主要研究由非局部Cahn-Hilliard方程作为约束方程的最优控制问题经数值离散得到的线性系统的快速求解方法.针对由约束优化问题离散得到的4 × 4分块结构的线性系统,通过适当的变形将其转化为系数矩阵具有特殊结构的等价线性系统.利用变形后系数矩阵的结构特点,提出了一个关于网格尺寸和模型参数鲁棒的快速求解器来求解离散的线性系统.证明了预处理矩阵的所有特征值都是正实的.详细分析了特征值的分布区间并绘制了特征值分布图,表明预处理矩阵的特征值分布在[1/2,1]这个与参数无关的区间内.最后通过数值实验说明所提出的预处理子在加速Krylov子空间方法时的高效性和鲁棒性.第四章主要研究由FitzHugh-Nagumo对流扩散反应方程离散得到的线性系统的数值求解方法.以间断有限元方法离散得到的2 × 2分块结构的线性系统的求解为出发点,设计了一类结构预处理子.该预处理子的构造动机在于,降低来源于非线性项的不定Jacobian矩阵对线性系统求解造成的影响,从而提升线性系统的计算效率.算法实现表明,该预处理子只需求解两个以质量矩阵加上刚度矩阵为系数矩阵的子线性系统,不涉及来源于非线性项的不定Jacobian矩阵的运算.分析了预处理系统的谱性质,并通过数值算例验证所提出的预处理子在加速Krylov子空间方法时的经济性.第五章主要研究由不可压缩稳态Navier-Stokes方程离散导出的广义鞍点线性系统的快速求解方法.通过引入正则矩阵,提出了一类基于矩阵分裂的正则分裂迭代方法及正则分裂预处理子.给出了预处理子的算法复杂性比对,表明正则矩阵的引入在一定程度上能够改善求解过程中涉及到的子线性系统的条件数.证明了所提出的迭代方法具有无条件收敛的性质.研究了预处理矩阵的谱聚集性质.基于正则分裂预处理子,进一步提出了松弛形式的预处理子,并分析了松弛之后预处理矩阵的特征性质.最后通过数值例子验证所提出的预处理子的有效性.第六章对全文做简要总结并对未来的工作安排进行展望.
其他文献
自旋电子学的研究旨在将自旋自由度加入传统电子器件,探索利用电子的自旋属性代替电荷功能实现信息记录、操作与读取的可能性,从根本上解决集成器件的高能耗问题。磁性异质结构是由磁性金属（FM）或磁性绝缘体（FI）与非磁性金属（NM）组成的复合结构,能够同时实现自旋流的产生与探测。它不仅是研究自旋输运相关现象的理想体系,而且是各种自旋电子学效应得以功能化的核心部件。在前期关于磁性异质结构自旋输运研究中,人们
自旋波（磁子）在信息处理和传输方面表现出了巨大的潜力,但其低激发效率和高耗散强度限制了它的实际应用。同时,传统的微波器件也面临着芯片微型化的挑战。而在单晶衬底上传播的声波（声子）具有低耗散特性、短波长（GHz频率的典型波长在微米量级）、不能在真空中传播等优势,更适用于通讯和信息处理。如果利用声子作为信息处理和传递的手段与载体,则有望得到新一代低功耗、高效率、微型化的移动通讯芯片。因此,实现声子与磁
伴随着人类知识范围的扩展,非线性科学的地位不断上升。由于非线性模型并不满足叠加原理,不能通过对问题的简单分解来进行量化分析,因此不存在一般的获取精确解的解析方法。为了求解非线性问题,数值计算方法在大多数情况下是惟一可行的选择,并占据着至关重要的位置。另外,实际问题还要求可在复杂区域上执行的算法,而目前的传统方法难以同时处理发生在复杂区域上的非线性问题。注意到本研究组在先前工作中提出的小波方法具有求
在过去二十年,Schrodinger系统在Bose-Einstein凝聚和非线性光学等物理问题中有重要应用,因此引起了许多数学家的极大兴趣.在本篇博士学位论文中,我们主要利用变分法和椭圆方程理论研究局部和非局部的Schrodinger系统正基态解的存在性及其渐近行为.在第一章中,我们介绍研究问题的背景和研究现状,同时列出了本文的主要结果.在第二章中,我们介绍本文所用记号和预备知识.在第三章中,我们
二代高温超导涂层导体以其优异的载流能力和较高的上临界磁场,在超导电缆、高场磁体、核磁共振磁体和发电机等电磁设备中具有广阔的应用前景。由于陶瓷氧化物高温超导体特殊的晶格取向,二代高温超导带材被制备成多层复合结构。但在复杂的极低温、强磁场环境下,涂层导体带受到热应力、电磁力和机械载荷的作用,极易引发层离现象。由于陶瓷氧化物固有的脆性,层离发生在超导层内或附近,从而引起严重的载流性能退化,直接对超导电磁
本文中,我们研究周期域上部分耗散的2D Boussinesq方程和部分耗散的2D Mag-netohydrodynamic（MHD）方程解的长时间行为.首先,我们考虑具有粘性但没有热扩散的2D Boussinesq方程,将Biswas et al.[4]提出的弱sigma吸引子关于速度变量的吸引性提高到了 V（见第二章2.1节）的强拓扑中,并且证明了弱sigma吸引子具有pancake-like结
自旋电子学器件可以提高传统电子器件的效率并赋予它们新功能,成为当前的研究前沿。有机自旋电子学的研究受到了材料发展的制约,设计并合成具有明确结构和优良自旋调控特性的新型功能材料成为有机自旋电子学研究的重要挑战。有机-无机杂化钙钛矿结构整合了有机材料和无机材料的诸多优势,如有机材料的结构多样性、功能性,及无机材料的磁性、高载流子迁移率,使其成为设计并合成新型功能材料的理想平台。然而,基于钙钛矿结构的磁
张量的特征值在自动控制、谱超图理论、量子纠缠、核磁共振成像、高阶Markov链等领域中有着广泛的应用.计算高阶张量的特征对（即特征值和特征向量）等价于求解一个齐次或非齐次非线性方程组的非平凡解.然而,当张量的阶数和维数很大时,计算它的特征值及对应的特征向量往往是比较困难的.因此,研究张量特征对的估计和高性能算法具有十分重要的意义.本论文主要研究了不可约非负张量Z-特征对的估计和计算（弱）对称张量广
现如今,随着5G和物联网时代的到来,越来越多的高科技电子产品走进了人们的世界,由此而带来的是便捷、舒适和互联互通的生活。然而,高科技电子产品所对应的电子元器件在使用过程中出现了越来越多的问题,例如读取速度慢、寿命短以及功耗较高等。如何更好地解决这些问题对于未来的信息存储和低功耗逻辑器件的发展是至关重要的。伴随着以拓扑磁性材料研究为基础的自旋电子学的快速发展,磁性超薄膜材料中磁畴/磁畴壁动力学的调控
0.1-18 GHz电磁波吸收材料广泛应用于通信领域,以减少辐射电磁波对通讯器件造成的干扰。优秀的吸波材料不仅要有强的吸收和宽的频带,而且还应有薄的厚度。目前被大量报道的介电/粘接剂型吸波体,虽然吸收强,但厚度都比较大,尤其到C波段（4-8 GHz）、S波段（2-4 GHz）和L波段（1-2 GHz）。相对于介电型吸波体,磁粉/粘接剂吸波体由于有较高的磁导率,其厚度普遍比较薄。而想要使吸波体的厚度