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Grobner 基理论是由 Buchberger,Shirshov 和 Bergman 独立引进的.Buchberger 创建的交换代数的Grobner基理论为解决交换代数中的约化问题提供了非常有效的方法.Bergman把Buchberger的理论推广到结合代数上.在李代数上的类似理论由Shirshov创建.后来,Bokut证明了 Buchberger和Bergman的Grobner基理论其实是Shirshov的Lie代数的Grobner基理论的一个特殊情况.因此,现在此理论称为Grobner-Shirshov基理论.Grobner-Shirshov基理论的核心内容是钻石合成引理,因为此引理能够让我们从已知的Grobner-Shirshov基计算出相应商代数的线性基.现在Grobner-Shirshov基理论在数学的各个领域和其他相关学科中得到了广泛应用.Leibniz代数是Loday首次引入的,可以认为是李代数的一个非交换推广.后来Loday把Leibniz代数的概念推广到Leibniz n-代数（n ≥ 2）,而且Leibniz-2代数刚好就是Leibniz代数.由于在纳米力学中的重要应用,Leibniz代数很快就成了代数学中一个热门研究领域.后来,Dzhumadil’daev等人又给出了 q-Leibniz代数和限制Leibniz代数,并且得到了很好的结果.同时,Loday又引入了 Liebniz代数的Koszul对偶代数,这个代数现在称为Zinbiel代数（Zinbiel这个词就是Liebniz的倒写）.Loday等人得到了关于Zinbiel代数的一些重要的性质,并且给出了 Zinbiel代数的一些有趣的例子.交换代数,Grassmann代数,路代数都是结合代数.在有限维代数表示理论中,路代数起着中心作用.路代数的Grobner-Shirshov基理论是由Farkas,Feustel和E.L.Green建立的.Grassmann（Exterior）代数是线性代数和几何等领域上是一个非常重要的工具.尤其是,线性和仿射几何中许多定理的陈述和证明中都用到Grassmann代数.I.M.Gelfand和Dorfman关于正规变分法中的Hamiltonian算子,构造了一类新的非结合代数,是左乘运算交换（作交换代数）的右对称（右pre-Lie）代数.同时,Novikov独立地构造了关于流体动力型线性Poisson括号的相同的代数,并且Osborn把这个代数称为Novikov代数,并对单Novikov代数及其不可约表示进行了分类.现在这个代数被称为右Gelfand-Dorfman-Novikov代数（简称右GDN代数）.后来,S.I.Gelfand证明了任何结合交换微分代数在新的乘法运算xoy=x（Dy）之下是一个GDN代数.右GDN代数的结构理论是由Zelmanov开创的,而Bokut,陈欲群和张泽锐等人建立了右GDN代数的Grobner-Shirshov基理论,并且用此理论证明了任何GDN代数可以嵌入到微分交换结合代数中.量子群是由Drinfeld和Jimbo独立引进的,并且在代数学界引起广泛关注.现在量子群已成了一个热门研究领域.上世纪90年代初Ringel用有限维代数的表示理论引入了 Ringel-Hall代数,并且用此代数给出了量子群正部分的一个实现.从此用代数表示论来研究量子群已变成研究量子群的主要方法之一.Bokut和Malcolmson建立了量子包络代数（也就是量子群）的Grobner-Shirshov基理论,并且用Yamane的关系具体地给出了 An型量子群在q8 ≠1时的Grobner-Shirshov基.在本学位论文中,我们主要研究l/2-Leibniz代数的Grobner-Shirshov基理论,自由Leibniz代数的右理想的钻石合成引理,在交换代数上的Zinbeil代数的钻石合成引理,几种结合代数的张量积的钻石合成引理,并且用结合代数的合成运算,代数表示论的有关结论和双自由模的方法给出An型量子群的不可分解模的Grobner-Shirshov基.然后,作为非结合代数的钻石合成引理的应用,算出了右GDN代数的非结合Grobner-Shirshov基.全文共分四章,主要内容可以概述如下:第一章,介绍了 Grobner-Shirshov基理论和各类代数的钻石合成引理的研究背景,目的和意义,并简单叙述Grobner-Shirshov基理论的发展历程和研究现状以及本文的主要工作,进而给出了本文的研究内容及章节安排.第二章,我们用非结合词（nonassociative word）的deg-lex序,证明了所谓的1/2-Leibniz 代数 1/2-Lei（X）= Magma(X |（uv）w=（uw）+u（uw>u>w）的双边理想的钻石合成引理.然后,我们利用Aymon-Grivel定理的中心思想（也就是,任何Leibniz代数可嵌入到一个双重代数（dialgebra）中）,证明了对于deg-rlex序的右Leibniz代数的右理想的钻石合成引理,这里的rlex是反字典序.最后,证明了自由交换代数k[Y]上Zinbiel代数的钻石合成引理.第三章,首先,我们建立了交换代数k[Y],自由结合代数k(X（i）>,自由Grassman代数Gk(Z（j）和路代数pathk（P（l））等结合代数的多重张量积在域k上的钻石合成引理.然后,我们利用结合代数的合成运算,双自由模的方法和An型Drinfeld-Jimbo量子群已知的Grobner-Shirshov基,算出了Uq（An）上的不可分解模V（λ）的Grobner-Shirshov基.最后,通过给出Uq（An）的一个合适的等价定义,讨论了Uq（An）= 1时的特殊情况,得到了A 型单李代数的泛包络代数U（An）的Grobner-Shirshov基,并给出了[U（An）上的有限维不可分解模V（λ）的Grobner-Shirshov配对（pair）.第四章,作为非结合代数GDN（X）的钻石合成引理的应用,计算了 GDN（X）的Grobner-Shirshov基.确切地说,先通过计算定义关系之间的合成,给出了新的关系集合S1使得Irr（S1）刚好是良序集X上的右GDN表（tableau）.然后,证明了Irr（S1）是由X生成的自由右GDN代数的一组线性基,从而用钻石合成引理证明了S1是自由右GDN代数的非结合Grobner-Shirshov基.