【摘 要】
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近年来,在自然科学和社会科学等领域,方程的非线性问题的影响越来越大,对于这些非线性问题,需要建立非线性偏微分方程进行求解.本文研究的非线性偏微分方程为:Korteweg-de Vries-Burgers（ KdVB）方程.在物理意义上, KdVB方程同时包含阻尼和色散,是一类广泛应用的非线性系统的模型方程.它不仅在物理学中起着重要的作用,而且在应用数学中具有很高的研究价值.最近几年,许多研究者从数
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近年来,在自然科学和社会科学等领域,方程的非线性问题的影响越来越大,对于这些非线性问题,需要建立非线性偏微分方程进行求解.本文研究的非线性偏微分方程为:Korteweg-de Vries-Burgers（ KdVB）方程.在物理意义上, KdVB方程同时包含阻尼和色散,是一类广泛应用的非线性系统的模型方程.它不仅在物理学中起着重要的作用,而且在应用数学中具有很高的研究价值.最近几年,许多研究者从数学理论和物理意义上研究了 KdVB方程解的形态,而且 KdVB方程的数值求解方法有很多种,例如有限元法、tanh方法、双曲切线法、指数有理函数法和有限差分格式法.本文主要介绍了基于POD方法的 KdVB方程降维模型的数值解法.特征正交分解（POD）是一种提供有效逼近大量数据的方法,其实质是在最小二乘意义下寻找能代表已知数据的一组正交基,即,一种求已知数据的最优逼近方法.POD方法是最常用的降维模型,是非常高效的一种方法.其作用是将高维的物理过程进行降维,用比较低的自由度表现出物理特征,进而达到了简化物理模型,节省计算时间和计算负荷的目的.本文研究了 KdVB方程的B样条Galerkin有限元法和POD降维法.首先,给出了 KdVB半离散格式和全离散格式,利用特征正交分解法给出了 KdVB方程的降维模型.其次,分析了相应方法的稳定性和误差估计.最后,通过数值计算验证了所提方法的有效性.
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